Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

20 2 Wachstums- und Abnahmeprozesse 21 Oidium Die Pilzerkrankung Oidium verläuft exponentiell. Sie befällt Blätter und vernichtet in Folge die Ernte der Früchte. Bei einer bestimmten Wetterlage sind zunächst 356 cm 2 Blattfläche befallen, 7 Tage später sind es bereits 854 cm 2 Blattfläche. a. Die Pilze breiten sich exponentiell aus. Zur Zeit t (in Tagen) sind N(t) = ​N​ 0 ​·​a​ t ​cm 2 Blattfläche befallen. ​N​ 0 ​ist die zu Beginn (Zeitpunkt 0) befallene Blattfläche in ​cm​ 2 ​. ƒƒ Bestimmen Sie N 0 und a für die oben beschriebene Wetterlage. ƒƒ Berechnen Sie, wie viele Wochen es dauert, bis ein Weingarten mit einer Blattfläche von 1 ha komplett befallen ist, wenn man von einer befallenen Blattfläche von 356 cm 2 zu Beginn der Infektion ausgeht. b. Exponentielles Wachstum wird allgemein durch die Funktion N mit N(t) = c·​a​ t ​beschrieben. ƒƒ Erörtern Sie die Eigenschaften der Funktion N, wenn c = 1 ist. ƒƒ Besprechen Sie anhand der folgenden Grafiken, wie sich die Parameter c und a auf den Funktionsgraphen auswirken. I. II. III. c. Das Wachstum von Oidium kann nicht für alle t > 0 durch eine exponentielle Wachstums­ funktion beschrieben werden. ƒƒ Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. ƒƒ Skizzieren Sie den Verlauf der Pilzentwicklung für 1 ha Weingartenfläche mit einer Blatt- fläche von ca. 25000m 2 . ƒƒ Erläutern Sie das in Ihrer Skizze dargestellte Wachstum mit seinen Eigenschaften. 22 Atomunfall 100 Jahre nach einem Atomunfall sind nur 4% der freigesetzten radioaktiven Isotope von Radium zerfallen. a.  Fassen Sie das Prinzip des radioaktiven Zerfalls basierend auf der Halbwertszeit zusam- men und erklären Sie den Begriff der Halbwertszeit im angegebenen Kontext. ƒƒ Ermitteln Sie die Halbwertszeit von Radium. ƒƒ Bestimmen Sie das Zerfallsgesetz unter Angabe der Zerfallskonstanten. b. Das Zerfallsgesetz von Radium ist N(t) = ​N​ 0 ​·​e​ ‒ λ t ​mit λ = 4,0822·1​0​ ‒4 ​. ƒƒ Erklären Sie, wie Sie die durchschnittliche Änderungsrate aus dem Zerfallsgesetz ablesen können. ƒƒ Stellen Sie den Verlauf des Zerfalls von Radium in einem Koordinatensystem dar. c.  Prüfen Sie, ob ein Nachweis von 1% des radioaktiven Radiums nach 11 000 Jahren noch möglich ist. ƒƒ Prüfen Sie die Aussage: „Radium baut sich so langsam ab, dass nach 500 Jahren erst 20% der freigesetzten radioaktiven Isotope von Radium zerfallen sind.” Erklären Sie, welcher Fehler hier passiert ist. x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 4 3 x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 4 3 x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 4 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv