Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

19 Wachstums- und Abnahmeprozesse 18 Bioreaktor In einem Bioreaktor wird ein Milligramm Bakterien ausgesetzt. Die Bakterien vermehren sich zunächst mit einer Wachstumsrate von 10% pro Stunde. a.  Modellieren Sie die Bakterienmasse m(t) nach t Stunden im Bioreaktor. Bestimmen Sie jene Zeitspanne, in der sich die Bakterienmasse verzehnfacht. Bestimmen Sie aus Ihrer Modellierung der Bakterienmasse die Vermehrungskonstante k derart, dass m(t) = m 0 ·e k·t ist. b. Der Bioreaktor ist ein Behälter, in dem maximal 1 kg Bakterien gefasst werden kann. Zu Beginn befinden sich ein Milligramm Bakterien, nach einer Stunde bereits um 10% mehr Bak- terien im Bioreaktor. Stellen Sie die Bakterienmasse m(t) nach t Stunden im Bioreaktor auf. Bestimmen Sie die Masse, die die Bakterien nach einer Woche haben. c. Aufgrund eines technischen Defektes am Bioreaktor, der maximal 1 kg Bakterien fasst, ist die Zusammensetzung des Nährmediums für die Bakterien nicht mehr optimal, sodass die Wachstumsrate nur mehr 0,05% pro Stunde beträgt. Im Bioreaktor sind bereits 0,7kg Bakteri- en kultiviert. Nach weiteren 10 Tagen sollen die Bakterien zur Gewinnung von Stoffwechsel- produkten verwendet werden. Argumentieren Sie, warum, obwohl der Bioreaktor eine maximale Kapazität besitzt, trotzdem das exponentielle Wachstum für die Beschreibung des Bakterienwachstums geeignet ist. Argumentieren Sie, welches Wachstumsmodell für die Bakterienmasse geeignet ist, falls erst nach weiteren 40 Tagen die Bakterien zur Gewinnung von Stoffwechselprodukten verwendet werden. 19 Forstverwaltung Eine Forstverwaltung hat momentan eine Waldfläche mit 30000m 2 Holz in ihrem Zuständigkeits- bereich. a. Der Holzzuwachs betrug in den letzten zehn Jahren jedes Vierteljahr 1%. Bestimmen Sie, wie groß die Waldfläche vor 10 Jahren war. Ermitteln Sie jenen Zeitpunkt in der Vergangenheit, zu dem der Holzbestand 10000m 2 umfasste. b. Durch ein geschicktes Beforstungskonzept gelingt es, dass der Holzzuwachs alle 13 Monate 5% beträgt. Ermitteln Sie, nach wie vielen vollen Jahren der Holzbestand mindestens 40000m 2 beträgt. Erklären Sie, warum der Holzbestand nicht für alle Zeit mit diesem Wachstum zu berech- nen ist. c. Die Forstverwaltung entscheidet, bei einem Holzbestand von 45000m 2 Schlägerungen durch- zuführen. Durch die Schlägerungen verringert sich der Holzbestand jährlich im n-ten Jahr um   9 _  2 n – 1 % (n = 1, 2, 3, 4, …). Zeigen Sie, wie der Holzbestand nach 5 Jahren ermittelt werden kann. Statt der unterschiedlichen Veränderungen bestünde auch die Möglichkeit, die Veränderung gleichmäßig durchzuführen. Weisen Sie nach, dass es eine konstante jährliche Veränderung pro Jahr gibt, die den glei- chen Holzbestand nach 5 Jahren ermöglicht. 20 Bakterien In einer Nährlösung verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien einer Kultur alle 5 Stunden. Zu Beginn wird eine Kultur mit 100 Bakterien angesetzt. a.  Beschreiben Sie das Wachstum der Bakterien pro Stunde sowohl explizit als auch rekursiv. Berechnen Sie, wie viele Bakterien die Kultur nach einer Woche umfasst. Stellen Sie das Wachstum der Anzahl der Bakterien in einem Koordinatensystem dar. b.  Erklären Sie, wie sich der Wachstumsprozess verändert, wenn sich die Kultur nicht belie- big ausbreiten kann, sondern die Nährlösung nur genau für das Wachstum einer Woche ausreicht. Vergleichen Sie dieses Wachstum mit einem exponentiellen Wachstum. c.  Bewerten Sie, ob in der Realität eher beschränktes oder exponentielles Wachstum von Bakterien anzutreffen ist. Beurteilen Sie, wie sich Faktoren (zum Beispiel Temperatur der „Reccourcen“) auf das Wachstumsverhalten auswirken können. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv