Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

18 2 Wachstums- und Abnahmeprozesse 16 Algenpopulation In einem neu angelegten Teich wird eine Algenpopulation von insgesamt 55000 Individuen frei- gesetzt. Einige Algen werden in den folgenden 50 Jahren sterben, andere werden sich vermeh- ren. Es wird eine Nettozuwachsrate von 1,5% erwartet. Danach wird der Teich verkauft. Der neue Besitzer legt keinen besonderen Wert auf Algen und leitet Chemikalien in das Wasser, wodurch sich ab dem 51. Jahr des Teichbestehens eine negative Nettozuwachsrate von ‒2,5% pro Jahr ergibt. a.  Modellieren Sie das Wachstum der Algenpopulation in den ersten 50 Jahren. ƒƒ Ermitteln Sie die Verdopplungszeit. ƒƒ Erklären Sie, warum es in den ersten 50 Jahren sinnlos wäre, von einer Halbwertszeit zu sprechen. b.  Ermitteln Sie eine Funktion, die den Bestand der Algenpopulation für die Zeit nach dem 50. Jahr beschreibt. ƒƒ Begründen Sie, warum es jetzt möglich ist, einen Zeitpunkt zu ermitteln, zu dem der Anfangsbestand halbiert ist. ƒƒ Bestimmen Sie die Zeit, nach welcher der Anfangsbestand halbiert ist. c.  Begründen Sie, dass es nicht möglich ist, einen Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Algenpopulation auf 0 Algen gesunken ist. Betrachten Sie die Algenpopulation als ausgestorben, wenn diese „0,5 Individuen“ unter- schreitet. ƒƒ Argumentieren Sie, warum unter dieser Annahme die Aussterbezeit der Algenpopulation bestimmt werden kann. 17 Karpfenteich In einem Teich gibt es insgesamt 30000 kg Karpfen. Jeden Dezember werden 1 500 kg Weihnachtskarpfen abgefischt und verkauft. Zusätzlich reduziert sich der Karpfenbestand jähr- lich aufgrund von Umweltverschmutzung um netto 5% (Zuwachs bereits berücksichtigt). a.  Modellieren Sie den Karpfenbestand im Teich in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren. ƒƒ Beschreiben Sie, wie Sie jenen Zeitpunkt (annähernd) ermitteln können, zu dem noch die Hälfte der Karpfen im Teich vorhanden ist. ƒƒ Bestimmen Sie, wie viele Karpfen im letzten Jahr noch abgefischt werden können, bevor der Teich ohne Karpfen ist. b. Der Teich soll 20 Jahre lang abgefischt werden. Durch bauliche Maßnahmen gelingt es, das Karpfensterben um einen Prozentpunkt zu vermindern. ƒƒ Begründen Sie, ob diese Maßnahme ausreichend ist, damit der Teich 20 Jahre lang abge- fischt werden kann. Als weitere Maßnahme (neben der Reduktion des Karpfensterbens um einen Prozentpunkt) werden nun nicht jedes Jahr 1 500 kg abgefischt, sondern es wird nach einem Jahr Abfischen jeweils ein Jahr pausiert. Ziel ist es, den Teich 25 Jahre lang abfischen zu können. ƒƒ Weisen Sie nach, dass diese Vorgehensweise nicht ausreichend ist, damit ein Karpfen­ bestand noch nach 25 Jahren vorhanden ist. c. Durch ein verbessertes Futtermittel gelingt es, dass die Karpfen jährlich einen Zuwachs von 10% erlangen, jedoch durch Umweltverschmutzung jährlich 4% der Karpfen sterben. An jedem Jahresende werden 1 500 kg abgefischt. ƒƒ Prüfen Sie, ob die Modellierung N(t) = N(t – 1)·1,06 – 1 500 (wobei N(t) der Karpfenbestand im Teich nach t Jahren ist) den Sachverhalt beschreibt. ƒƒ Beschreiben Sie diesen Sachverhalt durch eine geeignete Funktion. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv