Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

17 Wachstums- und Abnahmeprozesse 14 Temperatur von Milchkaffee Carl Friedrich liebt es, seinen Milchkaffee bei genau 30°C zu trinken. Dazu stellt er im Rahmen von Messungen Folgendes fest: Eine Tasse kochend heißer Kaffee (100°C) kühlt bei Zimmertem- peratur (20°C) in 10 Minuten auf 30°C ab. Die Temperatur nach t Minuten wird durch die Funktion T beschrieben: T(t) = 20 + (​T​ 0 ​– 20)·​e​ ‒ λ t ​ ​T​ 0 ​bezeichnet die Anfangstemperatur, λ = 0,2079. a.  Stellen Sie fest, um welche Art von Wachstumsfunktion es sich bei diesem Modell handelt. ƒƒ Zeichnen Sie den Verlauf der Temperatur in ein Koordinatensystem. ƒƒ Berechnen Sie, nach wie vielen Minuten der kochende Kaffee auf eine Temperatur von 50°C abgekühlt ist. b. Carl Friedrich mischt den Kaffee mit der gleichen Menge Milch, die direkt aus dem Kühl- schrank kommt. Die Temperatur der Milch beträgt 4°C. Dabei hat er die Wahl: Die Milch kann entweder sofort oder erst nach 3 Minuten dazugeben werden. Die Temperatur nach dem Hin- zugeben der Milch wird durch das arithmetische Mittel der Temperatur beider Flüssigkeiten beschrieben. ƒƒ Ermitteln Sie, wann Carl Friedrich den Milchkaffee in beiden Fällen mit seiner bevorzug- ten Trinktemperatur genießen kann. ƒƒ Vergleichen Sie die beiden Temperaturverläufe und erstellen Sie dazu eine Grafik mit einer aussagekräftigen Beschriftung. c. Minna sorgt dafür, dass immer genügend heißer Kaffee mit einer Temperatur von 75°C zur Verfügung steht. ƒƒ Beurteilen Sie, ob Carl Friedrich durch Hinzugeben von heißem Kaffee und gekühlter Milch (4°C) seine bevorzugte Trinktemperatur möglichst beibehalten kann. Entwickeln Sie dazu ein Szenario, in dem die Temperatur des auf unter 25°C abgekühlten Milchkaffees wieder auf 35°C erhöht werden soll. 15 Barometrische Höhenformel Für den Luftdruck p(h) in bar in der Höhe h in m (gemessen gegenüber dem Meeresniveau) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur die barometrische Höhenformel: p(h) = ​p​ 0 ​·​e​ ‒ ​  ​ ρ ​ 0 ​·g _ ​p​ 0 ​  ​·h ​ Dabei ist ​p​ 0 ​= 1,013bar der Luftdruck auf Meeresniveau, ​ ρ ​ 0 ​die zugehörige Luftdichte auf Meeres­ niveau und g die Erdbeschleunigung. Die sogenannte Druckhöhe H kann als H = ​  ​p​ 0 ​ _  ​ ρ ​ 0 ​·g ​= 7991m angenommen werden. a.  Ermitteln Sie die Funktion, die jedem Luftdruck p die entsprechende Höhe h(p) zuordnet. Mit einem Wetterballon wird ein Luftdruck von 0,65bar gemessen. ƒƒ Berechnen Sie, wie hoch der Ballon in diesem Moment schwebt. ƒƒ Bestimmen Sie, bei welcher Höhe ​h​ 1 ​der Luftdruck auf die Hälfte seines Wertes am Mee- resniveau abgesunken ist. b. Die internationale Höhenformel berücksichtigt die Temperaturabnahme mit steigender Höhe und gilt bis zur Tropopause (11 km): p(h) = ​p​ 0 ​·​ 2  1 – ​  0,0065 _  288  ​·h  3 ​ 5,255 ​, wobei p(h) in bar und h in m anzugeben sind. ƒƒ Zeigen Sie durch eine graphische Darstellung, dass der Druck nach der internationalen Höhenformel bei steigender Höhe abnimmt. ƒƒ Begründen Sie, dass der Druck nach der internationalen Höhenformel nicht exponentiell abnimmt. c. Die verallgemeinerte Höhenformel ist gegeben durch p(h) = ​p​ 0 ​·​ 2  1 – ​  κ  – 1 _ κ  ​ ·​  ​ ρ ​ 0 ​·g _  ​p​ 0 ​  ​·h  3 ​ ​  κ _  κ – 1 ​ ​mit κ ≠ 1. ƒƒ Argumentieren Sie, zum Beispiel graphisch, warum falls κ gegen 1 geht, die verallgemei- nerte Höhenformel in die barometrische Höhenformel übergeht. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv