Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

92 Ein Rechteck von Zahlen M = ( M 11 M 12 … M 1n ) M 21 M 22 … M 2n M m1 M m2 … M mn heißt eine m×n-Matrix mit m Zeilen und n Spalten. M ij heißt i-j-ter Eintrag oder i-j-ter Koeffi- zient von M. Mit E n bezeichnen wir die n-te Einheitsmatrix , das ist die nxn-Matrix, deren Koeffizienten gleich 1 sind, wenn der Zeilenindex gleich dem Spaltenindex ist, und 0 sind, wenn diese Indizes verschie- den sind. Die Summe zweier m×n-Matrizen berechnen wir, indem wir die entsprechenden Koeffizienten addieren. Ist c eine Zahl, dann berechnen wir das c-Fache einer m×n-Matrix , indem wir alle Koeffizienten dieser Matrix mit c multiplizieren. Beispiele: 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 + 2 B 11 B 12 B 21 B 22 3 = 2 A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 3 c· 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 = 2 c·A 11 c·A 12 c·A 21 c·A 22 3 Das Produkt einer m×n-Matrix A und einer n×p-Matrix B ist die m×p-Matrix A·B, deren i-j-ter Koeffizient (A·B) ij das Produkt A i1 B 1j + A i2 B 2j + … + A in B nj der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B ist (i = 1, 2, …, m und j = 1, 2, …, p). Bei der Matrizenmultiplikation darf man die Reihenfolge der Faktoren nicht vertauschen. Im Allgemeinen ist A·B ≠ B·A. Wenn zu einer n×n-Matirx A eine n×n-Matrix A ‒1 existiert, für die A·A ‒1 = E (Einheitsmatrix) ist, so bezeichnet man A ‒1 als die inverse Matrix von A. Aus m Rohstoffen R 1 , R 2 , …, R m werden n verschiedene Produkte P 1 , P 2 , …, P n hergestellt. Zur Her- stellung einer Einheit des Produktes P j (1 ª j ª n) werden B ij Einheiten des Rohstoffs R i (1 ª i ª m) benötigt. Dann heißt die m×n-Matrix B (mit den Einträgen B ij ) die Bedarfsmatrix dieser Produktion. Sie kann in einem Gozintographen dargestellt werden. Beispiel: B = 2 5 3 1 2 0 4 3 Der Nachfragevektor N = 2 N 1 N 2 N n 3 gibt an, wie viele Einheiten der Produkte P 1 ,P 2 , … ,P n hergestellt werden sollen. Die Spalte X = B·N heißt Produktionsvektor . Der i-te Eintrag X i von X ist die Anzahl der Einheiten, die vom Rohstoff R i verwendet werden müssen, um die Nachfrage N zu erfüllen. Die gegenseitige Abhängigkeit von n Teilbereichen eines Produktionsprozesses kann durch eine Verflechtungsmatrix V dargestellt werden. Dabei gibt der Eintrag V ij an, wie viele der vom Teil- bereich i hergestellten Einheiten für die Herstellung einer Einheit im Teilbereich j gebraucht werden. Die Nachfrage nach den in den einzelnen Teilbereichen hergestellten Einheiten am Markt wird durch einen Nachfragevektor N (eine Spalte mit n Einträgen) dargestellt. Der Produktionsvektor X (eine Spalte mit n Einträgen) gibt an, wie viele Einheiten die einzelnen Teilbereiche herstellen müssen, um die Nachfrage des Marktes zu erfüllen. Es ist X = (E n – V) ‒1 ·N. Umgekehrt lässt sich aus dem Produktionsvektor der Nachfragevektor berechnen. Es ist N = X – V·X. Matrizen Rechnen mit Matrizen inverse Matrix Produktions- prozesse 2 1 3 4 5 P 1 P 2 R 1 R 2 R 3 … Vorbereitung auf die Reife- und Diplomprüfung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv