Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

75 Eine Zufallsvariable heißt kontinuierlich , wenn ihre Wertemenge ein Intervall, eine Halbgerade oder die Menge aller reeller Zahlen ist. Ist X eine kontinuierliche Zufallsvariable, so nennt man die Funktion F: R ¥ [0; 1] mit F(x) = P(X ª x) Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Eine solche Verteilungsfunktion ist stets monoton wachsend und nimmt nur Werte von 0 bis 1 an. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen im Intervall [a; b] liegt, ist dann P(a ª X ª b) = F(b) – F(a) . Ist X eine kontinuierliche Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, dann heißt die Funktion f Dichtefunktion von X, wenn für alle reellen Zahlen a, b mit a ª b gilt : a b f(x) dx = F(b) – F(a) = P(a ª X ª b). Eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit dem Wertebereich R heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ , wenn ihre Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ ·e ‒ 1 _ 2 2 x – μ _ σ 3 2 ist. Dabei ist μ eine beliebige und σ eine positive reelle Zahl. Der Erwartungswert von X ist μ und die Standardabweichung von X ist σ . Der Graph dieser Dichtefunktion heißt Glockenkurve . Eigenschaften der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariable mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ : Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der zur y-Achse parallelen Geraden durch ( μ 1 0), das heißt: Für alle reellen Zahlen t ist f( μ + t) = f( μ – t). f hat genau eine Maximumstelle , nämlich μ , und f( μ ) = 1 _ 9 __ 2 π · σ . f hat zwei Wendestellen μ – σ und μ + σ . An den Stellen μ ± 3 σ ist der Funktionswert von f „fast 0“. Bis zur Stelle μ ist f monoton wachsend, nach der Stelle μ ist f monoton fallend. Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ : F ist auf ganz R streng monoton wachsend. Der Funktionswert von F an der Stelle μ – 3 σ ist „fast 0“. Der Funktionswert an der Stelle μ + 3 σ ist „fast 1“. Der Graph von F hat den Wendepunkt ( μ 1 0,5). F( μ – a) = 1 – F( μ + a) kontinuierliche Zufallsvariable Normal- verteilung x f(x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 - 8 -10 8 10 6 4 2 - 6 - 4 - 2 μ = - 4, σ = 2 μ = 0, σ = 1 μ = 4, σ = 0,5 x y μ μ + 2 σ μ – 2 σ 0,25 0,5 0,75 0,1 F ( μ | 0,5) Zusammenfassung: Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv