Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

74 Zusammenfassung Ist Ω die Grundmenge eines Zufallsexperiments, so nennt man eine Funktion X: Ω ¥ R eine Zufallsvariable . Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Mit M X bezeichnen wir die Menge M X = {X( ω ) ‡ ω * Ω }. M X ist eine Menge von reellen Zahlen, die wir als Wertemenge der Zufallsvariablen X bezeichnen. Ist M X eine endliche Menge, so nennt man X eine diskrete Zufallsvariable . Wenn M X = {x 1 , x 2 , …, x n } die Wertemenge einer diskreten Zufallsvariablen X ist, so nennt man die Funktion von M X nach [0; 1], die jedem Funktionswert x i von X die Wahrscheinlichkeit P(X = x i ) = P({ ω * Ω‡ X( ω ) = x i }) zuordnet, die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X . Weil jedem ω * Ω von X genau ein Element von M X zugeordnet wird, ist P(X = x 1 ) + P(X = x 2 ) + … + P(X = x n ) = 1. Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit M X = {x 1 , x 2 , …, x n }, so heißt E(X) = ; i = 1 n x i ·P(X = x i ) der Erwartungswert von X, V(X) = ; i = 1 n (x i – E(X)) 2 ·P(X = x i ) die Varianz von X und σ = 9 ___ V(x) = 9 ____________ ; i = 1 n (x i – E(X)) 2 ·P(X = x i ) die Standardabweichung von X. Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt, wobei die Einzelversuche voneinander unabhängig sind. Die Zufallsvariable X zählt, wie oft ein bestimmtes Ereignis E eintritt. Falls die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E bei jeder einzelnen Wiederholung gleich p ist, so sagt man, dass die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p ist. Dann ist P(X = k) = 2 n k 3 p k (1 – p) n – k . Ist die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p, so ist ihr Erwartungswert E(X) = n · p , ihre Varianz V(X) = n · p · (1 – p) und ihre Standardabweichung σ = 9 ______ n · p · (1 – p) . Zufallsvariable Binomial- verteilung Zusammenfassung: Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv