Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

71 233 X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 500 und p = 0,3. a. Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren darf. b. Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (130 ª X ª 160) mithilfe der Normal- verteilung. a. Da n = 500 und p = 0,3 ist, ist μ = 500·0,3 = 150 und σ = 9 _______ 500·0,3·0,7 = 10,25. Also ist σ > 3 und die Approximation durch die Normalverteilung ist zulässig. b. P(130 ª X ª 160) = P(X ª 160) – P(X ª 130) ≈ Φ 2 160 + 0,5 – 150 __ 10,25 3 – Φ 2 130 – 0,5 – 150 __ 10,25 3 ≈ ≈ Φ (1,024) – Φ (‒ 2) = 0,8471 – 0,0228 = 0,8243. Die Wahrscheinlichkeit beträgt näherungsweise 82,43%. 234 Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren darf. Wenn ja, berechne den Näherungswert. a. n = 60, p = 0,2; P(X ª 20) = b. n = 100, p = 0,5; P(X ª 40) = c. n = 30, p = 0,1; P(X ª 10) = 235 Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren darf. Wenn ja, berechne den Näherungswert. a. n = 200, p = 0,4; P(20 ª X ª 50) = c. n = 1 000, p = 0,1; P(100 ª X ª 200) = b. n = 80, p = 0,7; P(60 ª X ª 70) = d. n = 10, p = 0,5; P(3 ª X ª 6) = 236 Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximieren darf. Wenn ja, berechne den Näherungswert. a. n = 360, p = 0,5; P(X º 200) = c. n = 2000, p = 0,05; P(X > 95) = b. n = 20, p = 0,3; P(X > 5) = d. n = 30, p = 0,3; P(5 ª X ª 15) = 237 Ermittle, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 1 000 Würfen eines Würfels mehr als 150 Sechser zu erhalten. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Sechser bei 1 000 Würfen an. X ist binomialverteilt mit n = 1 000 und p = 1 _ 6 . Wir berechnen μ = 1 000· 1 _ 6 = 166,67 und σ = 9 _____ 1 000· 1 _ 6 · 5 _ 6 = 11,79. Da σ > 3 ist, können wir durch eine Normalverteilung approximieren und erhalten P(X > 150) = 1 – P(X ª 150) = 1 – Φ 2 150,5 – 166,67 __ 11,79 3 = 1 – Φ (‒1,37) = 1 – 0,0853 = 0,9147. Da es sich hierbei nur um eine Approximation handelt, hat es keinen Sinn, das Ergebnis mit einer solchen (scheinbaren) Genauigkeit anzugeben. Daher formulieren wir als Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,91. 238 Auf einem Glücksrad befinden sich 10 gleich große Felder, eines davon bezeichnet den Haupt- gewinn. 100 Personen drehen das Rad je einmal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptgewinn nur 7- bis 10-mal ausgezahlt werden muss … a. … exakt mithilfe der Binomialverteilung. b. … näherungsweise mithilfe der Normalverteilung und gib die absolute Abweichung vom exakten Wert an. 239 Eine Münze wird n-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsvariable X zählt, wie oft die Münze dabei „Zahl“ anzeigt. Ermittle, wie oft die Münze mindestens geworfen werden muss, damit die Verteilung von X durch eine Normalverteilung approximiert werden darf. Die Verteilung darf durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn σ 2 > 9 ist. Es ist σ 2 = n·p·(1 – p) = n· 1 _ 2 · 1 _ 2 = n _ 4 . Aus n _ 4 > 9 folgt n > 36. Die Münze muss mindestens 37-mal geworfen werden. ggb/xls/tns rk9vr4 überprüfen, ob die Binomial- verteilung durch die Normal- verteilung approximiert werden darf B, C B, D , B, D , B, D , ggb/xls s8xm49 Wahrschein- lichkeit einer binomialverteil- ten Zufallsva- riablen mit der Approximation durch die Nor- malverteilung berechnen A, B , A, B überprüfen, wann durch eine Normal- verteilung approximiert werden darf A, B 2.5 Normalverteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv