Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

68 223 Die Füllmenge in Kilogramm einer Großpackung Reis für Großküchen ist normalverteilt mit μ = 50 und σ = 0,5. Bestimme das symmetrisch um den Erwartungswert liegende Intervall, in dem erwartungsgemäß a. 90% b. 95% c. 99% der Füllmengen aller dieser Großpackungen Reis liegen, und interpretiere das Ergebnis. 224 Die Zeit, die Andreas für den Weg zur Schule benötigt, ist normalverteilt mit μ = 40 Minuten und σ = 7 Minuten. Der Unterricht beginnt um 8 Uhr. Berechne, wann Andreas die Wohnung verlassen muss, damit er mit der Wahrscheinlichkeit 0,95 nicht zu spät kommt. Erwartungswert und Standardabweichung normalverteilter Zufallsvariable Oft wird in offiziellen Statistiken die Standardabweichung nicht angegeben. So erfährt man etwa aus einer Statistik, dass die durchschnittliche Österreicherin 166 cm groß ist, wobei jede zehnte Frau über 175 cm misst. Können wir daraus die Standardabweichung berechnen? Wenn wir annehmen, dass die Körpergröße normal- verteilt ist, lässt sich σ berechnen. Wir wissen, dass für die Zufallsvariable X, die die Körpergröße einer zufällig gewählten Österreicherin in Zentimeter angibt, gilt: P(X º 175) = 0,1 bzw. P(X ª 175) = 0,9. Da wir die Standardabweichung von X nicht kennen, müssen wir diese Aufgabe mithilfe der Standardnormalverteilung lösen. Es gilt: P(X ª 175) = Φ 2 175 – 166 __ σ 3 = 0,9. Aus der Tabelle lesen wir ab, dass Φ (1,28) ≈ 0,9 ist. Daher ist 175 – 166 __ σ = 1,28, woraus wir σ = 7,03 erhalten. Tipp Mithilfe von Technologieeinsatz können wir die Zahl x mit Φ (x) = 0,9 noch genauer bestimmen und erhalten Φ (1,2816) = 0,9, woraus man schließlich σ = 7,022 erhält. Diese Genauigkeit ist aber im gegebenen Sachzusammenhang unnötig. Es handelt sich um eine Abweichung von 0,08mm. 225 Eine Maschine, die Schrauben herstellt, arbeitet mit einer Standardabweichung von σ = 0,75mm. Diese Maschine soll Schrauben von 50mm Länge erzeugen. Berechne, auf welche Länge ( μ ) die Maschine eingestellt werden muss, damit … a. … höchstens 5% aller Schrauben kürzer als 50,00mm sind. b. … höchstens 10% aller Schrauben länger als 51,00mm sind. a. Wir müssen μ so bestimmen, dass P(X ª 50) = 0,05 ist. Es gilt P(X ª 50) = Φ 2 50 – μ _ 0,75 3 = 0,05. Mithilfe der Tabelle bzw. mit Technologieeinsatz finden wir heraus, dass 50 – μ _ 0,75 = ‒1,64 ist. Wir lösen die Gleichung und erhalten μ = 51,23. Die Maschine muss auf eine Schraubenlänge von 51,23mm eingestellt werden. b. Wir möchten μ so bestimmen, dass P(X º 51,00) = 0,1 ist, das heißt, dass P(X ª 51,00) = 0,9 sein soll. Es gilt P(X ª 51) = Φ 2 51 – μ _ 0,75 3 = 0,9. Mithilfe der Tabelle bzw. mit Technologieeinsatz finden wir heraus, dass 51 – μ _ 0,75 = 1,28 ist. Aus dieser Gleichung erhalten wir μ = 50,04. Die Maschine muss auf eine Schraubenlänge von 50,04mm eingestellt werden. A, B, D , ; A, B ggb/xls/tns yr7ur5 den Erwartungswert einer normal- verteilten Zufalls- variablen unter vorgegebenen Bedingungen berechnen A, B Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv