Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

67 217 Die Zufallsvariable X beschreibt das Volumen der Milch in einer Flasche in Liter, die von einer Milchabfüllanlage befüllt wurde. Sie ist so eingestellt, dass pro Füllvorgang die Milch mit einem Erwartungswert von 1,01 und einer Standardabweichung von 0,04 eingefüllt wird. Berechne, wie viel Liter Milch in 95% der Packungen mindestens enthalten sind. 218 Die Masse in Gramm von Gurken ist normalverteilt mit μ = 500 und σ = 80. Berechne a. das untere und b. das obere Quartil der Masse dieser Gurken. a. Nach Definition liegen 25% aller Messwerte unterhalb des unteren Quartils q 1 . Daher muss die Zahl q 1 mit P(X ª q 1 ) = 0,25 bestimmt werden. Mittels Technologieeinsatz erhalten wir q 1 = 446,04, also liegt das untere Quartil bei 446g. b. Das obere Quartil q 3 ist durch P(X ª q 3 ) = 0,75 definiert. Technologieeinsatz liefert das Ergebnis q 3 = 553,96, also liegt das obere Quartil bei 554g. 219 Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ . Berechne das untere und das obere Quartil. a. μ = 60, σ = 5 b. μ = 120, σ = 15 c. μ = 85, σ = 12 d. μ = 250, σ = 35 220 Das Geburtsgewicht von Mädchen in Österreich ist normalverteilt mit μ = 3276g und σ = 512g. a. Berechne das untere und das obere Quartil für das Geburtsgewicht eines neugeborenen Mädchens in Österreich. b. Berechne, ab welchem Geburtsgewicht ein Mädchen zu den schwersten 10% zählt. 221 Die Füllmenge einer Öldose in Liter ist normalverteilt mit μ = 5 und σ = 0,04. Bestimme das sym- metrisch um den Erwartungswert liegende Intervall, in dem erwartungsgemäß 90% der Füllmen- gen aller solcher Öldosen liegen und interpretiere dein Ergebnis. Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegen soll, müssen von den verbleibenden 10% jeweils die Hälfte, also 5% der Dosen, weniger bzw. mehr ent- halten als die betrachteten 90% (siehe Abbildung). Wir suchen also die beiden Intervallgrenzen a und b so, dass P(X ª a) = 0,05 und P(X ª b) = 0,95 ist. Mit Technologieeinsatz erhalten wir a = 4,93 und b = 5,07. Das gesuchte Intervall ist [4,93; 5,07]. 90% aller Öldosen enthalten zwischen 4,93 Liter und 5,07 Liter Öl. 222 Die Länge von Salatgurken ist normalverteilt mit μ = 30 cm und σ = 8 cm. a. Bestimme das symmetrisch um den Erwartungswert liegende Intervall, in dem die Länge von 75% aller dieser Gurken liegt. b. Kennzeichne dieses Intervall in der hier abgebildeten Grafik und veranschauliche die 75% als Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion. C , das untere und obere Quartil einer normal- verteilten Zufallsvariablen berechnen A, B A, B , A, B, C , ein Intervall bestimmen, in dem ein bestimmter Anteil liegt A, B, C 90% 5% 5% x a 4,9 5 b 5,1 A, B , x f(x) 5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 f 2.5 Normalverteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv