Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

64 Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariable Alina hat einen neuen Freund, der 205 cm groß ist. In ihrer Klasse erregt sie damit Aufsehen, denn so große Menschen sieht man nur selten. Aber wie selten? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann 205 cm oder größer ist? Die Körpergröße eines erwachsenen Österreichers ist normal- verteilt mit einem Erwartungswert von 180 cm. Wir nehmen an, dass die Standardabweichung 10 cm beträgt. Alina möchte die Wahrscheinlichkeit P(X º 205) mithilfe der Tabelle für die Standardnormalverteilung berechnen. Dazu überlegt sie sich Folgendes: Nehmen wir ein gewöhnliches Maßband und messen damit die Größe erwachsener Männer in Österreich, so erhalten wir einen Mittelwert von 180 cm und eine Standardabweichung von 10 cm. Wenn wir das Maßband so verändern, dass wir erst an der Stelle von 180 cm mit 0 cm beginnen, so wird die Größe von Alinas Freund auf diesem Maßband mit „+25 cm“ angezeigt. Alina selbst ist 175 cm groß, bei ihr würde das neue Maßband demnach „‒5 cm“ anzeigen. Misst man mit diesem Maßband wieder- um die Körpergröße von Männern in Österreich, so ergibt sich nun ein Mittelwert von 0cm, während die Standardabweichung weiterhin bei 10 cm bleibt. Da ja bei einer standardnormalverteilten Zufallsvariable σ = 1 beträgt, beschließt Alina, alle Zahlen auf ihrem neuen Maßband noch durch 10 zu dividieren. Nun beträgt ihre Körpergröße auf dem neuen Maßband „‒0,5“ und die ihres Freundes „+2,5“. Misst man mit diesem Maßband wie- derum die Körpergröße alle Männer in Österreich, so ergibt sich nun ein Mittelwert von μ = 0 und eine Standardabweichung von σ = 1. Mit diesem neuen Maßstab ist die Körpergröße also standardnormalverteilt. Somit gilt P(X º 205) = 1 – P(X ª 205) = 1 – P 2 Z ª 205 – 180 __ 10 3 = 1 – Φ (2,5) = 1 – 0,9938 = 0,0062. Aus diesen Überlegungen erhalten wir allgemein: Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ , so ist ihre Verteilungsfunktion F mit F(x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 und damit P(X ª a) = Φ 2 a – μ _ σ 3 , P(X º a) = 1 – Φ 2 a – µ _ σ 3 , P(a ª X ª b) = Φ 2 b – μ _ σ 3 – Φ 2 a – μ _ σ 3 . Tipp Diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich noch einfacher mit Technologieeinsatz berechnen. σ = 10cm σ = 1 150cm 160cm 170cm μ = 180cm 190cm 200cm 210cm - 30cm - 20cm -10cm 0cm 10cm 20cm 30cm - 3 - 2 -1 μ = 0 1 2 3 Standardi- sierung Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv