Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

57 2.5 Normalverteilung Ich lerne die Graphen der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit den Parametern μ und σ zu skizzieren und zu interpretieren. Ich lerne Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen am Graphen ihrer Verteilungsfunktion abzulesen und als Fläche unter dem Graphen ihrer Dichtefunktion darzustellen. Ich lerne Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Zufallsvariable zu berechnen. Ich lerne zu entscheiden, wann ich eine binomialverteilte Zufallsvariable durch eine normalverteilte approximieren kann, und so Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Normalverteilte Zufallsvariable Die durchschnittliche Größe aller erwachsenen Frauen in Österreich ist 167cm. Die Standardabweichung der Größe beträgt 6,7cm. Man weiß, dass die Dichte- funktion f der Zufallsvariablen, welche die Körpergröße von Frauen in Österreich angibt, bei 167 ihren größten Funktionswert annimmt, monoton bis 167 wächst und danach monoton fällt. Weiters muss der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der x-Achse gleich 1 sein. Es lässt sich zeigen, dass die Funktion f mit f(x) = 1 __ 9 __ 2 π ·6,7 ·e ‒ 1 _ 2 2 x – 167 _ 6,7 3 2 diese Dichtefunktion ist. Man nennt ihren Graph auch Glockenkurve. Graph der Dichtefunktion f Man sagt, dass diese Zufallsvariable normalverteilt ist. Die Normalverteilung nimmt eine Sonder- stellung ein, da sie bei vielen praktisch wichtigen Zufallsvariablen entweder exakt oder in guter Näherung auftritt. Typische Beispiele dafür sind Wachstumsgrößen, wie etwa die Körpergröße und Masse von Menschen, Tieren oder Pflanzen. Eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit dem Wertebereich R heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ , wenn ihre Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ ·e ‒  1 _ 2 2 x – μ _ σ 3 2 ist. Dabei ist μ eine beliebige und σ eine positive reelle Zahl. Man kann zeigen: Der Erwartungswert von X ist μ und die Standardabweichung von X ist σ . x f(x) 140 150 160 170 180 190 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,01 0 f normalverteilte Zufallsvariable 2.5 Normalverteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv