Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

26 71 Ein Labortest entdeckt zu 95% eine bestimmte Erkrankung, wenn sie tatsächlich vorliegt. Der Test zeigt aber auch bei 1% der nicht erkrankten Personen ein „falsch positives“ Ergebnis. Man vermutet, dass 0,5% der Bevölkerung diese Krankheit haben. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person positiv getestet wird. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person wirklich krank ist. 72 Eine Pharmafirma produziert einen Schnelltest, mit dessen Hilfe man Tachinitose bereits im Frühstadium erkennen kann. Über die Krankheit ist folgendes bekannt: 0,2% der Bevölkerung leiden an Tachinitose. Hat eine Testperson Tachinitose, so fällt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7% positiv aus. Bei Testpersonen ohne Tachinitose ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% negativ. Das Gesundheitsministerium plant, in einer großangelegten Reihenuntersuchung 1 Million Personen diesem Test zu unterziehen. a. Dokumentiere mithilfe eines Baumdiagramms, bei wie vielen der getesteten Personen mit Tachinitose und bei wie vielen der getesteten Personen ohne Tachinitose der Test voraus- sichtlich positiv und bei wie vielen er negativ ausfallen wird. b. Frau Vorsicht nimmt an dieser Reihenuntersuchung teil. Ihr Test fällt positiv aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Vorsicht tatsächlich Tachinitose hat. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Test tatsächlich keine Tachinitose hat. 73 (Fortsetzung von Aufgabe 72) Da bekannt ist, dass bei 0,1% aller Testpersonen ohne Tachinitose durch einen unglücklichen Zufall der Schnelltest (siehe Aufgabe 72) trotzdem positiv ausfällt, ist vorgesehen, dass bei einem positiven Testergebnis der Test wiederholt werden muss. Nur im Fal- le, dass auch der zweite Test positiv ausfällt, geht man davon aus, dass die Testperson tatsäch- lich Tachinitose hat. (Bei einem negativen ersten Test wird der Test nicht wiederholt.) a. Dokumentiere mithilfe eines Baumdiagramms, bei wie vielen der im ersten Test positiv getesteten Personen auch der zweite Test voraussichtlich positiv und bei wie vielen er vor- aussichtlich negativ ausfallen wird. b. Bei Frau Vorsicht ist auch der zweite Test positiv ausgefallen. Berechne die Wahrscheinlich- keit, dass Frau Vorsicht dennoch keine Tachinitose hat. c. Bei Herrn Unsicher war ebenfalls der erste Test positiv, der zweite Test hingegen ist negativ ausgefallen. Herr Unsicher ist daher der Meinung, dass die Wahrscheinlichkeit, Tachinitose zu haben, für ihn bei 50% liegen müsste. Argumentiere mithilfe einer geeigneten Rechnung, dass Herr Unsicher mit seiner Einschätzung völlig falsch liegt. 74 Eine Firma produziert Bauteile, die in Triebwerken für Passagierflugzeuge eingesetzt werden. Produktionsbedingt weiß man, dass 1,5% aller erzeugten Bauteile Ausschuss sind. Um die hohen Sicherheitsanforderungen im Triebwerksbau zu erfüllen, durchläuft jeder produzierte Bauteil zwei unabhängige Tests. Der erste Test ist ein Schnelltest und erkennt 95% aller schadhaften Bauteile, während er allerdings auch 1% aller Bauteile, die einwandfrei sind, als Ausschuss ein- stuft. Alle Bauteile, die den ersten Test als „fehlerfrei“ überstehen, werden noch einem zweiten Test unterzogen. Dieser erkennt 99,9% aller schadhaften Bauteile, während er 4% aller nicht schadhaften Bauteile als Ausschuss einstuft. a. Veranschauliche die Testserie mithilfe eines Baumdiagramms. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das im ersten Test als Ausschuss einge- stuft wurde, tatsächlich schadhaft ist. c. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das beide Tests als einwandfrei absolviert hat, in Wirklichkeit schadhaft ist. d. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das im zweiten Test als Ausschuss einge- stuft wurde, in Wirklichkeit einwandfrei ist. e. Berechne, wie viel Prozent der Bauteile letztendlich als Ausschuss eingestuft werden. A, B , A, B, C, D , A, B, C, D ; A, B ; Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv