Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

25 67 Drei Maschinen M 1 , M 2 und M 3 produzieren 55%, 29% und 16% der in einer Fabrik hergestellten Ventile. Die Ausschussanteile der drei Maschinen sind 3%, 5% und 4%. a. Veranschauliche den Sachverhalt mithilfe eines Baumdiagramms. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus der Gesamtproduktion zufällig ausgewähltes Ventil Ausschuss ist. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Ausschussstück von Maschine M 2 stammt. 68 Die Bauern Suppan und Baumgartner beliefern einen Gemüsehändler mit Kürbissen. 35% der Kürbisse stammen von Herrn Suppan und 65% von Herrn Baumgartner. 7% der Kürbisse von Herrn Suppan und 3% der Kürbisse von Herrn Baumgartner wiegen jeweils über 5 kg. Frau Rühl kauft einen Kürbis, der über 5 kg wiegt. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit dieser von Herrn Suppan stammt. 69 Ein Bioladen bezieht seine Kartoffeln von zwei verschiedenen Bauern. Bauer A liefert 72% und Bauer B 28% der Kartoffeln. Es ist bekannt, dass 4% der Kartoffeln von Bauer A und 3% der Kartoffeln von Bauer B mangelhaft sind. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Kartoffel mangelhaft ist. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kartoffel von Bauer B stammt. 70 Um Blutkonserven auf HIV-Viren zu kontrollieren, wurde der sogenannte ELISA-Test entwickelt. Die Sensitivität des ELISA-Tests wird mit 99,9% angegeben. Das bedeutet, dass von 1 000 HIV- positiven Personen 999 als solche erkannt werden und eine ein falsches negatives Ergebnis erhält. Die Spezifität beträgt 99,8%. Dies bedeutet, dass von 1 000 nicht HIV-Positiven 998 ein korrektes negatives Ergebnis erhalten und 2 ein falsches positives Ergebnis. Der Statistik-Austria zufolge sind in Österreich zurzeit ungefähr 0,2% der Gesamtbevölkerung HIV-infiziert. Das Gesundheitsministerium plant, in einer großangelegten Reihenuntersuchung 1 Million zufällig ausgesuchte Personen gratis diesem Test zu unterziehen. a. Dokumentiere mithilfe eines Baumdiagramms, bei wie vielen der getesteten Personen mit HIV-Infektion (HIV-positiv) und bei wie vielen der getesteten Personen ohne HIV-Infektion (HIV-negativ) der Test voraussichtlich positiv und bei wie vielen er negativ ausfallen wird. b. Frau Vorsicht nimmt an dieser Reihenuntersuchung teil. Ihr Test fällt positiv aus. Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Vorsicht tatsächlich HIV- infiziert ist. a. Der Anteil der HIV-Infizierten unter den 1 Million Testpersonen sollte 0,2%, also 2000 sein. Daraus ergibt sich das folgende Baumdiagramm. b. Es haben also insgesamt 1 998 + 1 996 = 3994 Personen ein positives Testergebnis, aber nur 1 998 sind tatsächlich HIV-positiv. Die Wahr- scheinlichkeit, dass Frau Vorsicht an HIV erkrankt ist, ist also 1998 _ 3994 ≈ 0,5. Wir hätten die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung von Frau Vorsicht auch ohne die Kenntnis der absoluten Zahlen berechnen können: P(krank 1 Test positiv) = P(krank ° Test positiv) ___ P(Test positiv) = 0,002·0,999 ____ 0,002·0,999 + 0,998·0,002 ≈ 0,5. A, B , A, B , A, B , die Genauigkeit eines Testergebnisses mithilfe eines Baum- diagramms berechnen A, B, C 0,2% 99,8% 99,9% 0,1% 0,2% 99,8% Gesamtzahl 1000000 HIV 2000 Test positiv 1998 Test negativ 2 Test positiv 1996 Test negativ 996004 kein HIV 998000 1.3 Vierfeldertafel und Baumdiagramm Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv