Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

22 Baumdiagramme Um den Fluggästen die Wartezeit zu verkürzen, veranstaltet eine Fluglinie ein Gewinnspiel, bei dem in einer Urne 6 Kugeln mit der Aufschrift „A“ und 4 Kugeln mit der Aufschrift „U“ liegen. Eine Kandidatin bzw. ein Kandidat muss nun dreimal hintereinander ohne Zurücklegen eine Kugel ziehen. Zieht die Kandidatin bzw. der Kandidat „AUA“ in der richtigen Reihenfolge, hat sie bzw. er gewonnen. Armin nimmt an diesem Gewinnspiel teil und möchte zuvor seine Gewinn- wahrscheinlichkeit ermitteln. Dieses Zufallsexperiment verläuft in drei Stufen: Zunächst wird eine Kugel herausgenommen, dann eine zweite und dann noch eine dritte. Diese Vorgehensweise lässt sich gut graphisch mit- hilfe eines Baumdiagramms darstellen: Um das Baumdiagramm zu lesen, beginnen wir oben. Hier verzweigt sich der Baum erstmals. Ein Ast führt nach links zu einem Knoten mit der Bezeichnung A. Über dem Ast ist die Wahr- scheinlichkeit, dass bei der ersten Ziehung der Buchstabe A gezogen wird, mit 6 _ 10 angegeben. Analog führt auch ein Ast von oben nach rechts und zeigt an, dass bei der ersten Ziehung mit der Wahrscheinlichkeit 4 _ 10 der Buchstabe U gezogen wird. Nachdem bei der ersten Ziehung entweder ein A oder ein U gezogen wurde, zieht man ein zwei- tes Mal. Im Baumdiagramm führen daher vom ersten A und vom ersten U jeweils wieder zwei Äste weg, die die Möglichkeiten der zweiten Ziehung angeben. Dabei ist zu beachten, dass sich die Anzahl der möglichen Buchstaben jetzt um eins verringert hat, denn es fehlt ja jetzt der zuvor gezogene Buchstabe in der Urne. Auch die Anzahl der günstigen Buchstaben hat sich – abhängig von der vorangegangenen Ziehung – eventuell geändert. Auch für die dritte Ziehung gibt es wieder je zwei Möglichkeiten, die wiederum durch eine Verzweigung dargestellt werden. Um die Wahrscheinlichkeit der Buchstabenfolge AUA zu bestimmen, folgen wir dem rot einge- zeichneten Pfad . Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal ein A zu ziehen, beträgt 6 _ 10 . Die Wahr- scheinlichkeit, beim zweiten Mal ein U zu ziehen unter der Bedingung, dass zuvor ein A gezogen wurde, beträgt 4 _ 9 . Die Wahrscheinlichkeit, dass beim dritten Mal ein A gezogen wird, wenn zuvor ein A und ein U gezogen wurden, beträgt 5 _ 8 . Die Wahrscheinlichkeit für die Folge AUA kann mit der Multiplikationsregel berechnet werden: 6 _ 10 · 4 _ 9 · 5 _ 8 = 1 _ 6 Ein mehrstufiges Zufallsexperiment lässt sich mithilfe eines Baumdiagramms veranschaulichen. Dabei entspricht jeder Ausgang einem Pfad entlang der Äste dieses Baumdiagramms. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ausgangs erhält man, indem man die Wahrscheinlichkei- ten über den Ästen des Pfades, der zu diesem Ausgang führt, miteinander multipliziert. Erreicht man ein Ereignis E des mehrstufigen Zufallsexperimentes auf verschiedenen Pfaden, so erhält man die Wahrscheinlichkeit von E durch Addition der zugehörigen Pfadwahrscheinlich- keiten. 6 10 5 9 4 8 4 8 5 8 3 8 5 8 3 8 6 8 2 8 4 9 6 9 3 9 4 10 A U A A A U A U U U A U A U Baumdiagramm Multiplikations- pfadregel Additions- pfadregel Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv