Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

c. n > ln(0,01) _ ln(0,95) , also n > 89,78 [Die Wahrscheinlichkeit, dass mindes- tens eine Person nicht kommt, ist 1minus der Wahrscheinlich- keit, dass alle kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle n kommen, ist 0,95 n . Es ist 1 – 0,95 n º 0,99 genau dann, wenn ‒0,95 n º ‒0,01 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn 0,95 n ª 0,01 ist, also n·ln(0,95) ª ln(0,01) ist. Vorsicht: Da ln(0,95) < 0 ist, ist n·ln(0,95) ª ln(0,01) genau dann, wenn n º ln(0,01) _ ln(0,95) = 89,78 ist. Daher müssen mindestens 90 Personen reserviert haben.] 287. D 288. a. b. ca 20% [Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Handballerin kleiner als 165cm ist, ist F(165).] 289. a. 0,0062 [X ist normalverteilt mit μ = 455g und σ = 2g. Gesucht ist P(X > 460) = 1 – P(X ª 460) = 1 – 0,9938 = 0,0062.] b. [452,44g; 457,56g] [Weil das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert μ = 455 liegt, muss gelten P(455 – a ª X ª 455 + a) = 0,8 oder auch P(455 – a ª X) = 0,1 und P(X ª 455 + a) = 0,9. Weil P(452,44 ª X) = 0,1 und P(X ª 457,56) = 0,9 ist, ist das Intervall [452,44g; 457,56g].] 290. σ = 1,9411g [Weil das gegebene Intervall [220g; 230g] symmetrisch um den Erwartungswert liegt, muss μ = 225g sein. Laut Angabe gilt auch P(220 ª X ª 230) = 0,99 oder gleichwertig P(X ª 220) = 0,005. Weil daher auch Φ 2 220 – 225 __ σ 3 = 0,005 ist, muss 220 – 225 __ σ = ‒2,5758 oder σ = 1,9411g gelten.] 291. a. Weil σ = 9 ______ 1000· 1 _ 37 · 36 _ 37 = 5,13 > 3 ist. b. 0,0601 (mit μ = 27,027 und σ = 5,13) [Weil σ = 5,13 > 3 ist, darf die Normalverteilung mit μ = n·p = 1000· 1 _ 37 = 27,027 und σ = 5,13 verwendet werden. Damit berechnet man dann die Wahrschein- lichkeit P(X º 35,5) = 0,0601.] c. mindestens 343 Runden [Weil σ > 3 sein soll, muss auch 9 ____ n· 1 _ 37 · 36 _ 37 > 3 sein, oder n > 9·37·37 __ 36 also n > 342,25.] 292. a. Wegen n = 390000 und p = 0,37 ist μ = 144300 und σ = 301,51. Weil σ größer als 3 ist, darf die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. b. 1,01% c. Es ist P(X > 145000) = ; k = 145001 390000 2 390000 k 3 ·0,37 k ·0,63 390000 – k . Diese Summe hat 244999 Summanden. Bereits für den ersten Summanden muss man für 2 390000 145001 3 145001 Multiplikationen und ebenso viele Divisionen durchführen und erhält eine sehr große Zahl, die von einem gewöhnlichen Taschenrechner nicht berechnet werden kann. Weiters erfordert die Berechnung von 0,37 145001 ·0,63 244999 insgesamt 390000 Multiplikationen. Dieses Produkt ist so klein, dass es von jedem Rechner als 0 ausgegeben wird. 293. a. D b. A [Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen in a. nimmt an der Stelle 0 (= μ ) den Funktionswert 0,5 an, jene der Zufallsvariablen in b. nimmt den Funktionswert 0,5 an der Stelle 1 (= μ ) an. Daher kommt für a. nur C oder D in Frage und für b. nur A oder B . Da der Graph der Verteilungsfunktion von b. im mittleren Teil steiler ansteigt als der der Verteilungsfunktion von b. , muss die Standard- abweichung bei b. kleiner sein als bei a. ] 294. a. b. Der Graph hat ein doppelt so großes Maximum und die Wen- destellen liegen näher an der Extremstelle. 295. (1) Extremstelle (2) der Erwartungswert [Die Extremstelle der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen ist ja deren Erwartungswert.] x y 155 150 160 165 170 175 180 185 190 195 200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 F x y 155 150 160 165 170 175 180 185 190 195 200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 F x y 0,1 0,2 0,3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 1 0 -1 -2 -3 202 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv