Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

2.3 Binomialverteilung 169. C Begründung: A ist nicht binomialverteilt, denn bei einer Bino- mialverteilung muss die Zufallsvariable angeben, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt. B ist nicht binomialverteilt, denn die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen auszuwählen, ändert sich bei jeder Ziehung. C ist binomialverteilt. Bei jeder der 20 Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blauäugige Person auszuwählen, gleich. 170. X … Anzahl der richtigen Antworten; n = 12; p = 1 _ 3 a. P(X = 12) = 0,00000188 [P(X = 12) = 2 12 12 3 · 2 1 _ 3 3 12 · 2 2 _ 3 3 0 = 1 _ 3 12 = = 0,00000188] b. P(X º 6) = ; j = 6 12 P(X = j) = 0,1777 c. P(X = 0) = 0,0077 171. a. 0,8701 [P(X º 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,96 50 = 0,8701] b. 0,4604 [P(1 < X < 4) = P(X = 2) + P(X = 3) = = 2 50 2 3 ·0,04 2 ·0,96 48 + 2 50 3 3 ·0,04 3 ·0,96 47 = 0,4604] c. 0,0490 [P(X > 4) = 1 – P(X ª 4) = 1 – ; 0 4 2 50 k 3 ·0,04 k ·0,96 50 – k = = 0,04897] 172. X … Anzahl der Sechser; E(X) = 10; 9 ___ V(X) = 2,89 [E(X) = 60· 1 _ 6 = 10; 9 ___ V(X) = 9 ____ 60· 1 _ 6 · 5 _ 6 = 2,89] 2.4 Kontinuierliche Zufallsvariable 189. a. diskret b. kontinuierlich c. kontinuierlich d. diskret 190. a. Keine von beiden. [Ist F eine Verteilungsfunktion, dann folgt aus x < y, dass F(x) ª F(y) ist, aber nicht notwendig F(x) < F(y). Daher muss eine Verteilungsfunktion nicht streng monoton wachsend sein.] b. Verteilungsfunktion [Der Funktionswert der Verteilungsfunk- tion an der Stelle a ist das bestimmte Integral ihrer Dichtefunk- tion von a bis a. Ein bestimmtes Integral von a bis a ist immer 0.] c. Dichtefunktion [Diese Fläche ist das bestimmte Integral der Dichtefunktion von a bis b. Dieses ist der Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle b, also 1 (siehe e. ).] d. Verteilungsfunktion [nach Definition] e. Verteilungsfunktion [Der Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle b ist P(X ª b). Dieser ist 1, weil [a; b] der Wertebereich von X ist.] 191. a. 0,4 [Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen 2 und 0,2 ist 2·0,2 = 0,4.] b. P(1 ª X ª 3) = 0,4 192. a. 0,2 [P(X ª 2) = F(2) = 0,2] b. 0,4 [P(4 ª X ª 8) = F(8) – F(4) = 0,8 – 0,4 = 0,4] 193. a. 250 Stunden [E(X) = : 0 10000 x·f(x)dx = 250] b. 250 [V(x) = : 0 10000 f(x)·(x – 250) 2 dx = 62500. σ = 9 ____ 62500 = 250] 2.5 Normalverteilung 245. Erwartungswert: μ = 6; Standardabweichung: σ = 2,5 [Das lokale Maximum ist an der Stelle 6, die Wendepunkte an den Stellen 8,5 = 6 + 2,5 und 3,5 = 6 – 2,5.] 246. 247. a. 0,3 [P(500 ª X ª 504) = F(504) – F(500) = 0,8 – 0,5 = 0,3] b. 248. X … Länge der Schraube a. 0,0013 [P(X > 38,3) = 1 – P(X ª 38,3) = 1 – Φ 2 38,3 ‒38 __ 0,1 3 = 1 – Φ (3) = = 0,0013] b. 0,1587 [P(X < 37,9) = Φ 2 37,9 ‒38 __ 0,1 3 = Φ (‒1) = 0,1587] c. 0,8186 [P(37,8 ª X ª 38,1) = P(X ª 38,1) ‒ P(X ª 37,8) = 0,8186] 249. [4906; 5494]. 95% aller Säcke enthalten zwischen 4906g und 5494g Äpfel. [Es werden die Zahlen a und b gesucht, für die gilt: P(X ª a) = 0,025 und P(X ª b) = 0,975. Mit Technologieeinsatz erhalten wir a ≈ 4906 und b ≈ 5494.] 250. a. Die Anzahl der Buben bei den 5000 Geburten ist binomialverteilt mit n = 5000 und p = 0,514. Daraus ergibt sich μ = 5000·0,514 = 2570 und σ = 9 ____________ 5000·0,514·(1 – 0,514) ≈ 35,34. Weil σ > 3 ist, darf man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit μ = 2570 und σ = 35,34 approximieren. b. 0,1980 [P(X > 2600) = 1 – P(X ª 2600) = 1 – Φ 2 2600,5 – 2570 __ 35,34 3 = = 1 – Φ (0,849) = 0,1980.] Was habe ich in diesem Semester gelernt? – 9. Semester 271. a. Ja, wenn der Würfel fair ist, also jede Augenzahl gleich wahrscheinlich ist. b. Nein, weil die Wahrscheinlichkeit, die Mehrheit zu gewinnen, nicht für alle Parteien gleich groß ist. c. Ja, weil es für jede Karte gleich wahrscheinlich ist, aufgedeckt zu werden. 272. a. 1 _ 8 [Wird dreimal geworfen, gibt es insgesamt 2·2·2 = 8 Aus- gänge. Nur bei einem davon wird dreimal Kopf geworfen, nämlich bei (K, K, K). Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also 1 _ 8 . 5 b. 3 _ 8 [Es gibt drei in Frage kommende Ausgänge: (K, Z, Z), (Z, K, Z) und (Z, Z, K). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher 3 _ 8 . 5 c. 1 _ 8 [Nur bei einem der 8 Ausgänge wird nie Kopf geworfen, näm- lich bei (Z, Z, Z). Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1 _ 8 . 5 273. Die Wahrscheinlichkeit einer 45-jährigen Frau zu erkranken ist höher als die Wahrscheinlichkeit einer 35-jährigen Frau zu erkran- ken. Daher muss die 45-jährige eine höhere Prämie bezahlen als die 35-jährige Frau. 274. a. Diese Aussage ist nicht richtig, da die Ereignisse des Würfelns voneinander unabhängig sind. Zwar nähert sich die relative Häufigkeit einen Pasch zu würfeln mit zunehmender Anzahl der Würfe der Wahrscheinlichkeit von ca. 17% an, das bedeutet aber nicht, dass jeder sechste Wurf ein Pasch ist, da die Wahrschein- lichkeit bei jedem einzelnen Wurf für einen Pasch weiterhin bei ca. 17% liegt. b. (1) die Augensumme 12 (2) P(X = 2) x 1160 1080 1000 920 840 F W 1 W 2 x y 520 510 500 490 480 0,25 0,5 0,75 1 f 200 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv