Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

18 Abhängige und unabhängige Ereignisse In einer Schulklasse befinden sich 12 Mädchen, von denen 4 eine Brille tragen, und 16 Buben, von denen 6 eine Brille tragen. Wir wählen aus diesen 28 Kindern zufällig eines aus und betrachten folgende Ereignisse: M = „Das Kind ist ein Mädchen“ und B = „Das Kind trägt eine Brille“. Die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig gewählte Kind eine Brille trägt, ist P(B) = 4 + 6 _ 28 ≈ 0,357. Wählt man nur unter allen Mädchen zufällig eines aus, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses eine Brille trägt P(B 1 M) = 4 _ 12 ≈ 0,333, also P(B 1 M) ≠ P(B). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Kind eine Brille trägt, ist also etwas kleiner, wenn wir bereits wissen, dass dieses Kind ein Mädchen ist. Man sagt, dass die Ereignisse B und M voneinander abhängig sind. Genauso hätten wir uns fragen können, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein zufällig gewähltes Kind ein Mädchen ist: P(M) = 12 _ 28 ≈ 0,429. Wählt man nur unter allen Kindern mit Brille zufällig ein Kind aus, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses ein Mädchen ist P(M 1 B) = 4 _ 4 + 6 = 0,4, also P(M 1 B) ≠ P(M). Auch hier sieht man, dass die Ereignisse B und M voneinander abhängig sind. Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander unabhängig , wenn P(A 1 B) = P(A) bzw. P(B 1 A) = P(B) ist. In diesem Fall ist auch P(A ° B) = P(A)·P(B) . Sind zwei Ereignisse nicht unabhängig, so nennt man sie voneinander abhängig . 44 Aus den 45 möglichen Lottozahlen wird eine gezogen. Wir betrachten die Ereignisse A und B: A: die Zahl ist durch 3 teilbar B: die Zahl ist höchstens 30 Überprüfe auf drei Arten, ob diese Ereignisse unabhängig sind. P(A) = 15 _ 45 = 1 _ 3 P(B) = 30 _ 45 = 2 _ 3 P(A ° B) = 10 _ 45 = 2 _ 9 1. Art: P(A)·P(B) = 1 _ 3 · 2 _ 3 = 2 _ 9 = P(A ° B), also sind A und B unabhängig. 2. Art: Von den Zahlen 1 bis 30 sind 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 und 30, also genau 10 durch 3 teilbar. Daher ist P(A 1 B) = 10 _ 30 = 1 _ 3 . Da auch P(A) = 1 _ 3 ist, sind A und B unabhängig. 3. Art: Von den Zahlen 1 bis 45 sind 15 durch 3 teilbar. Von diesen sind 10 Zahlen höchstens 30. Daher ist P(B 1 A) = 10 _ 15 = 2 _ 3 . Da auch P(B) = 2 _ 3 ist, sind A und B unabhängig. 45 Überprüfe, ob die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind. a. Es werden zwei Würfel geworfen. A: Augensumme 7 würfeln B: eine ungerade Augensumme würfeln b. Die Zahlen von 1 bis 100 werden auf Lose geschrieben und anschließend wird eine Zahl gezogen. A: eine gerade Zahl ziehen B: eine durch 5 teilbare Zahl ziehen abhängige und unabhängige Ereignisse prüfen, ob Ereignisse voneinander unabhängig sind C C , Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv