Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

164 506 Eine neue App für Smartphones verbreitet sich rasant. Eine Woche nach Erscheinen wurde diese App bereits 400-mal heruntergeladen. Eine weitere Woche später sind es bereits 880 Downloads. a. Nimm an, dass die Anzahl der Downloads linear wächst. Finde eine Funktion D lin , die die Anzahl D lin (t) der Downloads innerhalb der ersten t Tage nach Erscheinen der App modelliert. Nach 3 Wochen wurde die App bereits 1 945-mal heruntergeladen. Erkläre, woran man erkennt, dass die Anzahl der Downloads nicht linear gewachsen ist. b. Aufgrund der bisher erfolgten Downloads ermittelt die Geschäftsleitung eine quadratische Funktion D qu mit D qu (t) = 5,97t 2 – 56,79t + 505, die die Anzahl der Downloads innerhalb der ersten t Tage nach Erscheinen der App vorhersagen soll. Zeige, dass D qu die Downloads nach 1, 2 und 3 Wochen nahezu exakt wiedergibt. Zeichne den Graphen der Funktion D qu über dem Intervall [0; 21]. Argumentiere, warum D qu zumindest innerhalb der ersten Woche die Anzahl der Downloads nicht richtig beschreibt. c. Man versucht die Anzahl der Downloads innerhalb der ersten t Tage durch eine Exponential- funktion D exp mit D exp (t) = 180·1,12 t zu beschreiben. Zeige, dass D exp die Downloads nach 1, 2 und 3 Wochen recht gut wiedergibt. Ermittle, um wie viel Prozent die Anzahl der Downloads täglich zunimmt. Berechne, nach wie vielen Tagen die App voraussichtlich zum millionsten Mal herunterge- laden wird. d. Aus Erfahrung weiß man, dass die Zielgruppe für diese App etwa 5 Millionen Personen aus- macht. Das Wachstum kann daher auf lange Sicht nicht wirklich exponentiell sein. Vermutlich wird die Verbreitung dieser App eher dem logistischen Wachstum folgen. Ermittle aus den Downloadzahlen der ersten und zweiten Woche, sowie aus der Obergrenze von 5 Millionen Downloads die logistische Funktion D log mit D log (t) = K _ 1 + c·a t , die die Anzahl der Downloads innerhalb der ersten t Tage nach Erscheinen der App modelliert. e. Das nachstehende Diagramm zeigt den Graphen dieser logistischen Funktion D log . Lies aus dem Graphen ab, nach wie vielen Tagen die App voraussichtlich zum millionsten Mal heruntergeladen wird. Ermittle aus dem Graphen, an welchem Tag die meisten Downloads erfolgen und wie viele es an diesem Tag ungefähr sind. A, B, C, D t in Tagen nach dem Erscheinen 5 0 10 15 20 25 500 0 2000 1000 1500 Anzahl der Downloads D qu (t) Tage Downloads [Mio] 0 1 2 3 4 5 100 90 80 70 120 110 140 130 60 50 40 30 20 10 0 D log Vorbereitung auf die Reife- und Diplomprüfung Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv