Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

148 489 Beim Nuklearunfall im Kernkraftwerk von Fukushima am 12. März 2011 wurden verschiedene radioaktive Substanzen freigesetzt. Diese zerfallen nach dem Gesetz N(t) = N 0 ·e ‒ λ ·t , dabei ist N 0 die Ausgangsmasse der radioaktiven Substanz und N(t) die Masse der Substanz nach der Zeit t. λ ist die Zerfallskonstante (spezifisch für jedes Isotop). a. Beim Unfall wurde auch Iod 131 freigesetzt. Iod 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. ƒƒ Erkläre den Begriff Halbwertszeit. ƒƒ Berechne die Zerfallskonstante λ für Jod 131. ƒƒ Ermittle, wie lange es dauert, bis nur noch 5% der freigesetzten Masse Iod 131 die Böden rund um Fukushima belasten. b. Der Zerfall von Iod 131 wird durch die Funktion N mit N(t) = 10·e ‒0,08664·t beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Tagen und N(t) die Masse in Mikrogramm ( μ g). ƒƒ Zeichne den Graphen der Funktion N in das folgende Diagramm. ƒƒ Lies aus dem Graphen die Halbwertszeit ab. ƒƒ Ermittle, um wie viel Prozent die Masse in den ersten 10 Tagen abgenommen hat und um wie viel Prozent vom 10. bis zum 20. Tag. Vergleiche und begründe das Ergebnis. c. Ein anderes radioaktives Isotop hat die Halbwertszeit H. Kreuze die zutreffende Aussage an. Nach einer Zeitspanne von 4H ist 1 _ 4 der Ausgangsmasse vorhanden. A Nach einer Zeitspanne von 3H ist 1 _ 3 der Ausgangmasse vorhanden. B Nach einer Zeitspanne von 2H sind 50% der Ausgangmasse vorhanden. C Nach einer Zeitspanne von 3H sind 12,5% der Ausgangsmasse vorhanden. D Nach einer Zeitspanne von 5H sind 5% der Ausgangsmasse vorhanden. E 490 Alvin nimmt an einer Ausbildung zum Jet-Piloten teil. Beim Reaktionstest erreicht er ohne vorherige Trainingseinheit 852 Punkte. Nach 5 Trainingseinheiten erreicht er einen Punktestand von 1 375 Punkten, nach 10 Trainingseinheiten sind es bereits 1 684 Punkte. a. ƒ Überprüfe, ob der Graph der Funktion, die der Anzahl der Trainingseinheiten den Punkte- stand zuordnet, links- oder rechtsgekrümmt ist. ƒƒ Begründe deine Entscheidung. b. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl x der Trainingseinheiten und der erreichten Punktezahl P 1 (x) wird durch die Funktion P 1 mit P 1 (x) = a·x + b _ x + c modelliert. ƒƒ Berechne die Zahlen a, b und c. Runde dabei die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. c. Wir nehmen an, dass die Funktion P 2 durch P 2 (x) = 2885x + 12300 __ x + 14,5 gegeben ist. ƒƒ Vergleiche P 2 (0), P 2 (5) und P 2 (10) mit den tatsächlich von Alvin erreichten Punkten und gib an, bei welchen der drei Zahlen der absolute Fehler am größten ist. Berechne auch jeweils den relativen Fehler und gib an, bei welcher der drei Zahlen der relative Fehler am größten ist. ƒƒ Zeige mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion P 2 keine lokalen Extremwerte besitzt. A, B, C, D Zeit in Tagen N(t) in µg 0 10 20 30 40 50 60 5 15 25 35 45 55 2 8 10 0 4 6 A, B, C, D Vorbereitung auf die Reife- und Diplomprüfung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv