Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

131 Regression Gegeben sind Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) und eine Funktion f: R ¥ R . Die Summe der Fehlerquadrate ist ; i = 1 n (f(x i ) – y i ) 2 . Bei Regression wird eine Funktion f gesucht, für die die Summe der Fehlerquadrate minimal ist. f: R ¥ R , f(x) = ax + b Diese Zahlen a und b sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ; x i 2 + b ; x i = ; x i y i a ; x i + n·b = ; y i . Es ist a = ; x i y i – n· _ x· _ y ___ ; x i 2 – n· _ x 2 und b = _ y – a· _ x. Stichprobenkorrelationskoeffizient (Korrelationskoeffizient nach Pearson) r = ; (x i – _ x)(y i – _ y) ___ 9 ___ _ ; (x i – _ x) 2 · 9 _ ___ ; (y i – _ y) 2 . r ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit der beiden Merkmale. Je näher der Betrag † r † bei 1 ist, desto näher liegen die Punkte (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) an der Regressionsgerade. Für Korrela- tionskoeffizienten † r † > 0,6 gilt der Zusammenhang als stark, für † r † > 0,8 sogar als sehr stark. Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten heißt Bestimmtheitsmaß . f: R ¥ R , f(x) = ax 2 + bx + c Diese Zahlen a, b und c sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ; x i 4 + b ; x i 3 + c ; x i 2 = ; x i 2 y i a ; x i 3 + b ; x i 2 + c ; x i = ; x i y i a ; x i 2 + b ; x i + c·n = ; y i . f: R ¥ R , f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Diese Zahlen a, b, c und d sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ; x i 6 + b ; x i 5 + c ; x i 4 + d ; x i 3 = ; x i 3 y i a ; x i 5 + b ; x i 4 + c ; x i 3 + d ; x i 2 = ; x i 2 y i a ; x i 4 + b ; x i 3 + c ; x i 2 + d ; x i = ; x i y i a ; x i 3 + b ; x i 2 + c ; x i + d·n = ; y i . f: R ¥ R , f(x) = b·e ax a = ; x i ·ln(y i ) – n· _ x· ____ ln(y) _____ ; x i 2 – n· _ x 2 und ln(b) = _ ln(y) – a· _ x Summe der Fehlerquadrate lineare Regression y x f quadratische Regression y x f y x f kubische Regression exponentielle Regression y x f 3.5 Kompetenztraining: Stochastik Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv