Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

129 Diskrete Zufallsvariable Kontinuierliche Zufallsvariable Erwartungswert E(X) = ; i = 1 n x i ·P(X = x i ) M X = [a; b] E(X) = : a b x·f(x) dx Varianz V(X) = ; i = 1 n (x i – E(X)) 2 ·P(X = x i ) V(X) = E((X – E(X)) 2 ) = : a b (x – E(x)) 2 ·f(x) dx Standardabweichung σ = 9 ___ V(X) σ = 9 ___ V(X) Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt, wobei die Einzelversuche voneinander unab- hängig sind. Die Zufallsvariable X zählt, wie oft ein bestimmtes Ereignis E eintritt. Falls die Wahr- scheinlichkeit für das Eintreten von E bei jeder einzelnen Wiederholung gleich p ist, so sagt man, dass die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p ist. Es ist dann: P(X = k) = 2 n k 3 ·p k ·(1 – p) n – k E(X) = n·p V(X) = n·p·(1 – p) σ = 9 ______ n·p·(1 – p) Eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit dem Wertebereich R heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ , wenn ihre Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ ·e ‒  1 _ 2 2 x – μ _ σ 3 2 ist. Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung von X. Die Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 heißt Standardnormalverteilung . Ihre Dichtefunktion ist φ mit φ( x) = 1 _ 9 __ 2 π ·e ‒  x 2 _ 2 , ihre Verteilungsfunktion ist Φ mit Φ (z) = : ‒ • z φ (x) dx . Für eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern μ und σ gilt: P(X ª a) = Φ 2 a – μ _ σ 3 P(X º a) = 1 – Φ 2 a – μ _ σ 3 P(a ª X ª b) = Φ 2 b – μ _ σ 3 – Φ 2 a – μ _ σ 3 Der Graph der Dichtefunktion der Normalverteilung heißt Gaußsche Glockenkurve . Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung sieht so aus: Ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p, dann ist der Erwartungswert μ = n·p und die Standardabweichung σ = 9 ______ n·p·(1 – p). Wenn σ > 3 bzw. σ 2 > 9 ist, so kann man die Verteilung von X durch die Normalverteilung mit den Parametern μ und σ approximieren. Es gilt: P(X = a) ≈ Φ 2 a + 0,5 – μ __ σ 3 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 P(X ª a) ≈ Φ 2 a + 0,5 – μ __ σ 3 P(X º a) ≈ 1 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 P(a ª X ª b) ≈ Φ 2 b + 0,5 – μ __ σ 3 – Φ 2 a – 0,5 – μ __ σ 3 Kenngrößen von Zufallsvariablen Binomial- verteilung Normal- verteilung x φ (x) 0 0,2 0,4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Approximation der Binomial- verteilung durch die Normal - verteilung 3.5 Kompetenztraining: Stochastik Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv