Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

12 Laplacemodelle Anna möchte ihrem Freund Max zum Geburtstag ein Brieflos schenken und überlegt, wie groß die Wahrschein- lichkeit ist, mit diesem Los einen Gewinn von 100€ oder mehr zu erzielen. Bei ihren Recherchen findet sie heraus, dass insgesamt 5 Millionen Brieflose gedruckt wurden. Von diesen gewinnen 1672 Lose entweder 100€ oder mehr. Kauft Anna ein Brieflos, so hat dieses Zufallsexperi- ment 5 Millionen mögliche Ausgänge , die alle gleich wahrscheinlich sind. Unter diesen 5 Millionen Ausgängen gibt es 1 672 günstige Ausgänge , nämlich die 1672 Lose, die mindestens 100€ gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Brieflos mindestens 100€ gewinnt, beträgt daher 1672 __ 5000000 = 0,0003344. Sind wie in diesem Fall alle m möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments gleich wahrschein- lich, so ist für alle Ausgänge ω die Wahrscheinlichkeit P( ω ) = 1 _ m und wir sprechen von einem Laplacemodell (nach Pierre-Simon Laplace 1749–1827). In einem Laplacemodell lassen sich Wahrscheinlichkeiten besonders leicht berechnen. In einem Laplacemodell wird angenommen, dass die Ausgangsmenge Ω eines Zufalls- experiments endlich ist und alle Ausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Enthält Ω m Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ausgangs ω P( ω ) = 1 _ m . In einem Laplacemodell ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E P(E) = g _ m . Dabei bezeichnet g die Anzahl der Elemente von E (die „günstigen Fälle“) und m die Anzahl der Elemente von Ω (die „möglichen Fälle“). Bei Glücksspielen handelt es sich fast durchgehend um Laplacemodelle. Jede Seite eines Würfels hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 _ 6 , jede Zahl im Roulette hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 _ 37 . Auch beim Lotto „6 aus 45“ hat beispielsweise die Zahlenkombination (1, 2, 3, 4, 5, 6) die gleiche Wahrscheinlichkeit wie (4, 10, 17, 22, 38, 44), nämlich 1 __ 8145060 . Achtung Beachte, dass diese Voraussetzung nicht bei allen Zufallsexperimenten gegeben ist. So beträgt etwa die Wahrscheinlichkeit, dass ein soeben gezeugtes Kind ein Mädchen wird, nicht 1 _ 2 = 0,5 sondern nur 0,486. 21 Kann man die gestellte Aufgabe mithilfe eines Laplacemodells lösen? Begründe mithilfe der Grundmenge Ω . A Ein Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen. B Bei der Fußballweltmeisterschaft spielt Österreich gegen Brasilien. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Österreich gewinnt. C Leon wartet am Bahnhof. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sein Zug eine Verspätung von mehr als 5 Minuten hat. D Ein Kartenspiel wird gemischt und anschließend die oberste Karte aufgedeckt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um ein „Ass“ handelt. 22 Ein Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu würfeln. Die Menge der günstigen Fälle ist E = {2, 4, 6}, die Grundmenge dieses Zufallsexperimentes ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es gibt also 3 günstige und 6 mögliche Fälle. Daher ist P(E) = 3 _ 6 = 1 _ 2 . So viel können Sie gewinnen: 2 Hauptgewinne zu 100000€ 10 Gewinne extra zu 10000€ 10 Gewinne zu 10000€ 50 Gewinne zu 1 000€ 100 Gewinne zu 500€ 1 500 Gewinne zu 100€ 15000 Gewinne zu 10€ 250000 Gewinne zu 2€ 1100000 Gewinne zu 1€ Laplacemodell Wahrschein- lichkeit eines Ereignisses im Laplacemodell , D Wahrschein- lichkeit im Laplacemodell berechnen A, B Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv