Mathematik anwenden HAK 5, Schulbuch

10 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem ein Würfel 100-mal hintereinander geworfen wurde. Die Ausgänge sind in der nebenstehen- den Tabelle zusammengefasst. Die Augenzahl 1 wurde 15-mal geworfen. Wir sagen dann: „die absolute Häufigkeit von 1 ist 15“. Die absolute Häufigkeit der Augenzahl 2 ist 21. Betrachten wir den Anteil der Anzahl der Würfe mit Augenzahl 1 an allen Würfen, so erhalten wir 15 _ 100 oder 0,15 oder 15%. Diesen Anteil nen- nen wir die relative Häufigkeit der Augenzahl 1. Mit ω * Ω bezeichnen wir einen Ausgang eines Zufallsexperimentes ( ω ist der zu Ω gehörige Kleinbuchstabe „klein Omega“). Dann nennen wir die Anzahl des Auftretens von ω bei n Ver- suchsdurchführungen die absolute Häufigkeit und schreiben dafür H n ( ω ). Den Quotienten h n ( ω ) = H n ( ω ) _ n nennen wir die relative Häufigkeit von ω . In unserem Beispiel ist n = 100, H 100 (1) = 15 und h 100 (1) = 15 _ 100 = 0,15 = 15%. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich n, also: ; ω * Ω H n ( ω ) = n Die Summe der relativen Häufigkeiten ist gleich 1, also: ; ω * Ω h n ( ω ) = ; ω * Ω H n ( ω ) _ n = 1 In unserem Beispiel ist ; ω * Ω H 100 ( ω ) = 15 + 21 + 17 + 14 + 18 + 15 = 100 und ; ω * Ω h 100 ( ω ) = 0,15 + 0,21 + 0,17 + 0,14 + 0,18 + 0,15 = 1. Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch, so kann man beobachten, dass sich die relativen Häufigkeiten eines bestimmten Ausgangs auf einen „Grenzwert“ einpendeln. Die folgende Grafik zeigt, wie sich die relative Häufigkeit, einen Sechser zu würfeln immer mehr der Zahl 1 _ 6 nähert. Wir nennen 1 _ 6 die Wahrscheinlichkeit, einen Sechser zu würfeln. Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so nähert sich die relative Häufigkeit h n ( ω ) immer mehr einer Zahl, die wir mit P( ω ) bezeichnen. Wir nennen sie die Wahrscheinlichkeit des Ausgangs ω . Ist E a Ω eine endliche Menge, dann definieren wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E durch P(E) = ; ω * E P( ω ) , wenn E ≠ { } und P({ }) = 0. In Worten: Die Wahrscheinlichkeit von E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elemente von E. Dabei gilt stets: 0 ª P(E) ª 1 P( Ω ) = 1 („sicheres Ereignis“) Augen- zahl Anzahl der Würfe mit dieser Augenzahl relative Häufigkeit 1 15 0,15 2 21 0,21 3 17 0,17 4 14 0,14 5 18 0,18 6 15 0,15 Summe: 100 1 absolute und relative Häufigkeit Summe absoluter und relativer Häufigkeiten Wiederholungen h(6) 0 0,1 0,2 0,3 500 400 600 700 800 900 1000 300 200 100 0 Wahrschein- lichkeit eines Ausgangs Wahrschein- lichkeit eines Ereignisses Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv