Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

23 Polynomfunktionen sind Summen von Vielfachen von Potenzfunktionen. Da wir die Ableitung von Potenzfunktionen schon kennen, können wir daher deren Ableitung mithilfe der Summenre- gel und der Faktorregel berechnen: Die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 ist die Polynomfunktion f’ mit f’(x) = n·c n x n – 1 + (n – 1)·c n – 1 ·x n – 2 + … + 2·c 2 x + c 1 . Die Ableitung einer Polynomfunktion mit Grad n > 0 ist somit eine Polynomfunktion mit Grad n – 1. Beispiele: Die lineare Funktion f mit f(x) = k·x: Wir wissen bereits, dass diese Funktion die Steigung k besitzt. Da die Ableitung an der Stelle x die Steigung von f an der Stelle x beschreibt, muss f’(x) = k sein. Man gelangt zu diesem Resultat auch mithilfe der Potenz- und Faktorregel. Da f(x) = k·x 1 ist, ist f’(x) = k·1·x 0 = k. Die konstante Funktion f mit f(x) = c: Da jede konstante Funktion die Steigung 0 besitzt, ist die Ableitung f’ mit f’(x) = 0. Auch dieses Resultat erhält man aus Potenz- und Faktorregel. Da f(x) = c·x 0 ist, ist f’(x) = c·0·x – 1 = 0. GeoGebra Ableitung[ <Ausdruck> , <Variable> ] oder Funktion ’(x) TI Nspire derivative( Ausdr , Var ) 64 Berechne die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = ‒2x 3 – 4x 2 + 5x + 4. Die Polynomfunktion ist eine Summe von Vielfachen von Potenzfunktionen. Mithilfe der Summen- und Faktorregel erhalten wir f’(x) = 3·(‒ 2)x 2 – 2·4x + 5·1 + 0, also f’(x) = ‒ 6x 2 – 8x + 5. 65 Ermittle die Ableitung der Polynomfunktion f. a. f(x) = 3x 2 + 7x – 4 c. f(x) = 2x 3 – 4x 2 + 2x – 5 b. f(x) = ‒ x 2 + 5x + 1 d. f(x) = ‒ x 3 + 3x 2 – 5x 66 Bestimme die Ableitung der Polynomfunktion p. a. p(x) = 3x 3 + 2x 2 + x b. p(x) = 2x 4 +   3 _ 2 x 2 – 1 c. p(x) =   5 _ 8 x 8 + 3x 2 67 Ordne den Funktionen ihre Ableitung an der Stelle a zu. a. f mit f(x) = ‒ 3x 2 + 5x – 2 A f’(a) = ‒ 3 B f’(a) = ‒ 3a + 5 b. f mit f(x) = ‒ 3x + 5 C f’(a) = ‒ 6a + 5 D f’(a) = ‒ 6a 2 + 5a Ableitung von Polynom funktionen Ableitung berechnen ggb/tns iq7752 B eine Polynom funktion ableiten B : : B B, C , 1.3 Ableitungsregeln Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv