Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

22 1.3 Ableitungsregeln Ich lerne Potenzfunktionen und dann mithilfe der Summen- und Faktorregel Polynom­ funktionen abzuleiten. Ich lerne die Exponentialfunktionen und die natürliche Logarithmusfunktion abzuleiten. Ich lerne die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel zur Bestimmung der Ableitungsfunktion anzuwenden. Im vorigen Abschnitt haben wir gelernt die Ableitungsfunktion f’ an einer Stelle a zu berechnen, indem wir den Grenzwert ​lim    b ¥ a ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​ ermitteln. Die Berechnung eines Grenzwertes ist relativ aufwendig. Schneller und einfacher geht es, wenn wir f’ mithilfe von Ableitungsregeln berechnen. Ableitung von Potenz- und Polynomfunktionen Bereits im ersten Jahrgang haben wir die folgende binomische Formel kennengelernt: (b – a)(b + a) = b 2 – a 2 Es ist leicht nachzurechnen, dass für jede natürliche Zahl n (b – a)(b n – 1 + b n – 2  a + b n – 3  a 2 + … + ba n – 2 + a n – 1 ) = (b n – a n ) ist. Daher ist ​lim    b ¥ a ​  ​b​ n ​– ​a​ n ​ _ b – a  ​= ​lim    b ¥ a ​(​b​ n – 1​ ​+ ​b​ n – 2​ ​a + … + ​a​ n – 1​ ​) = a n – 1 + a n – 1 + … + a n – 1 = n·a n – 1 . Man kann zeigen, dass das auch dann gilt, wenn n eine beliebige reelle Zahl ist. Für jede reelle Zahl n ist die Ableitung der Potenzfunktion f mit f(x) = ​x​ n ​ (zumindest für positive Zahlen x) die Funktion f’ mit f’(x) = n·​x​ n – 1 ​ . Mit Funktionen mit demselben Definitions- und Wertebereich kann man rechnen. Wir können das benutzen, um die Ableitungen vieler weiterer Funktionen zu bestimmen. Sind f und g reellwertige Funktionen mit demselben Definitionsbereich D, dann ist f + g die Funktion von D nach R mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) und heißt Summe von f und g . Die Differenz der Funktionen f und g ist die Funktion f – g mit (f – g)(x) = f(x) – g(x). Ist c eine reelle Zahl, dann ist c·f die Funktion mit (c·f)(x) = c·f(x) und heißt das c-Fache von f . Man kann zeigen: Sind f und g differenzierbare Funktionen, dann ist auch ihre Summe f + g und ihre Differenz f – g differenzierbar. Es ist (f + g)’ = f’ + g’ und (f – g)’ = f’ – g’. („Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen.“) Ist c eine reelle Zahl und f eine differenzierbare Funktion, dann ist auch das c-Fache c·f von f differenzierbar und (c·f)’ = c·f’. („Die Ableitung des c-Fachen ist das c-Fache der Ableitung.“) Ableitung einer Potenzfunktion Summe von Funktionen Differenz von Funktionen Vielfache von Funktionen Summenregel Faktorregel Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv