Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

b. zu einem Preis von   2 _ 3 = 0,67GE [Da E(x) = p·x ist, muss p die Steigung der Erlösfunktion sein. Diese ist   2 _ 3 , da der Graph von E durch die Punkte (0 1 0) und (3 1 2) geht.] 420. (35,65ME 1 321,75GE/ME) [Es ist G(x) = ‒0,06x 3 – x 2 + 300x – 3500 und G’(x) = ‒0,18x 2 – 2x + 300. Die Nullstellen von G’ sind ‒46,76 und 35,65. P N (35,65) = 321,75.] 421. a. A b. C 4 Integralrechnung 4.1 Das unbestimmte Integral 450. F ist eine Stammfunktion von f, weil F’(x) = 12x 2 – 14x + 5 = f(x) ist. 451. G(x) = F(x) – 10. Also ist G’(x) = F’(x). 452. a. 5x 4 + 4x 3 + 2x 2 – x + c b.   x 6 _  6 –   3 _ 5 x 5 +   5 _ 4 x 4 –   2 _ 3 x 3 +   3 _ 2 x 2 + 8x + c 453. F mit F(x) = 3x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 4x + 10 [Eine Stammfunktion von f ist F mit F(x) = 3x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 4x + c. Mit F(1) = 10 erhalten wir 3 – 3 + 4 – 4 + c = 10, also c = 10.] 454. a. x 3 + ln(x) + c c.   1 _ 4 ·e 4z + c e.   1 _  ln(7) ·7 t + c b.   1 _ 4 ln(x) + c d. ‒  1 _ 5 ·e ‒5z + c 4.2 Das bestimmte Integral 506. a. / b. b. U = 6,6; O = 12,6 c. Der Flächeninhalt beträgt zwischen 6,6 und 12,6 Flächeneinheiten. 507. a. negativ b. positiv c. positiv d. positiv e. negativ 508. 19,52 Flächeneinheiten [Die Nullstellen von f sind ‒3, 1 und 4. Eine Stammfunktion von f ist F mit F(x) =   1 _  16 x 4 –   1 _ 6 x 3 –   11 _  8 x 2 + 3x. Daraus erhalten wir die beiden Teilflächen: A 1 = |  :  ‒3   1 f(x)dx  | = † F(1) – F(‒3) † = |    73 _ 48 – 2 ‒  189 _ 16    3   | =   40 _ 3  A 2 = |  :  1   4 f(x)dx  | = † F(4) – F(1) † = |  2 ‒  14 _ 3    3 –   73 _ 48   | =   99 _ 16 A = A 1 + A 2 =   937 _ 48  ≈ 19,52] 509. 14,8 Flächeneinheiten [Die Schnittstellen der beiden Funktionen sind ‒2, 2 und 4. Eine Stammfunktion von f – g ist F = :    (0,3x 3 – 1,2x 2 – 1,2x + 4,8)dx, also F(x) = 0,075x 4 – 0,4x 3 – 0,6x 2 + 4,8x. Somit ist A 1 = |  :  ‒2   2 (f(x) – g(x))dx  | = † F(2) – F(‒2) † = † 5,2 – (‒7,6) † = 12,8 A 2 = |  :  2   4 (f(x) – g(x))dx  | = † F(4) – F(2) † = † 3,2 – (‒5,2) † = 2. A = A 1 + A 2 = 14,8.] 510. 250m [Es ist s = :    v(t)dt, also s(t) = ‒0,01t 3 + 0,6t 2 und s(50) = 250.] 511. 2kW [  1 _  18 – 6 · :  6   18 2 ‒  1 _  12 x 2 + 2x – 9  3 dx=   1 _  12 · 2 ‒  1 _  36 x 3 + x 2 – 9x  3   1 6   18 = =   1 _  12  ·(0 – (‒24)) = 2.] 512. 3,25m [Die Fläche unter dem Graphen kann in drei Parallelogramme und zwei Rechtecke unterteilt werden: A 1 =   (1 + 3)·1 __ 2  = 2, A 3 =   (3 + 4)·1 __ 2  = 3,5, A 5 =   (4 + 1)·3 __ 2  = 7,5 A 2 = 3·2 = 6, A 4 = 4·5 = 20 Daher ist die Gesamtfläche 2 + 3,5 + 7,5 + 6 + 20 = 39 und der durch- schnittliche Pegelstand somit   1 _  12 – 0 ·39 = 3,25.] 4.3 Wirtschaftliche Anwendungen der Integralrechnung 543. a. E’ mit E’(x) = ‒24x + 840 [Es ist E’ eine lineare Funktion, also E’(x) = ax + b. Aus E’(10) = 600 und E’(30) = 120 erhalten wir das lineare Gleichungssystem I) 10a + b = 600 II) 30a + b = 120 mit der Lösung a = ‒24, b = 840.] b. E mit E(x) = ‒12x 2 + 840x [Eine Stammfunktion von E’ ist E mit E(x) = ‒12x 2 + 840x + c. Da E(0) = 0 sein muss, ist c = 0.] c. p mit p(x) = ‒12x + 840 [Da E(x) = p(x)·x, ist p(x) =   E(x) _ x  = ‒12x + 840.] 544. a. E’ mit E’(x) = ‒0,16x + 160 und K’ mit K’(x) = 0,12x + 20 [Aus der Zeichnung können wir ablesen, dass E’(0) = 160 und E’(1000) = 0 ist. Daraus erhalten wir mit E’(x) = a x + b das Gleichungssystem I) b = 160 II) 1000a + b = 0 mit der Lösung a = ‒0,16, b = 160 und somit E’(x) = ‒0,16x + 16. Ebenso erhalten wir aus der Grafik für K’(x) = ax + b das Gleichungssystem I) b = 20 II) 1000a + b = 140 mit der Lösung a = 0,12, b = 20.] b. Die Nullstelle von E’ liegt bei 1000ME. Da E’(1000) = 0 ist, ist der Erlös bei 1000ME maximal. c. Die Schnittstelle gibt jene Produktionsmenge an, für die der Gewinn maximal wird. d. G mit G(x) = ‒0,14x 2 + 140x – 5000 [Aus E’ erhalten wir die Erlösfunktion E mit E(x) = ‒0,08x 2 + 160x, aus K’ die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,06x 2 + 20x + c. Da K(0) = 5000, ist c = 5000 und K(x) = 0,06x 2 + 20x + 5000. Die Gewinnfunktion ist G = E – K = = ‒0,08x 2 + 160x – (0,06x 2 + 20x + 5000) = ‒0,14x 2 + 140 x – 5000.] e. 30000GE [G’(x) = ‒0,28x + 140 mit der Nullstelle 500. G(500) = 30000.] 545. a. b. (450 Stück 1 30€/Stück) x y 1 0 2 3 2 0 4 6 8 f Untersumme x y 1 0 2 3 2 0 4 6 8 f Obersumme x y 0 -2 2 4 -2 2 4 f g Zeit in Stunden Pegelstand in m 2 3 1 4 5 7 6 8 9 10 11 12 0 1 0 2 3 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Produktionsmenge x in Stück Preis in €/Stück 0 200 600 800 400 0 10 20 30 40 50 p N p A 216 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv