Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

b. Die Aufmerksamkeit der Zuhörer nimmt in den ersten 10min zu (Funktionswerte der Ableitung positiv, Graph der Funktion mono- ton wachsend). Dann nimmt die Aufmerksamkeit der Zuhörer zwischen 10min und ca. 45min ab (Funktionswerte der Ablei- tung negativ, Graph der Funktion monoton fallend). Nach ca. 45 steigt die Aufmerksamkeit wieder (Funktionswerte der Ableitung positiv, Graph der Funktion monoton wachsend). 393. a. Das Fahrzeug hat zunächst zwischen 0 und 5 Fahrsekunden eine positive Beschleunigung, das heißt, es wird schneller. Nach 5 Fahrsekunden hat es eine negative Beschleunigung, das heißt, es wird langsamer. b. Das Fahrzeug hat seine maximale Geschwindigkeit nach 5 Fahrsekunden erreicht, weil dort die Beschleunigungsfunktion eine Nullstelle hat. 394. a. 12,03% [B(50) = 12,03] b. 1,13% pro Tag [Die momentane Änderungsrate ist die Ableitung. B’(75) = 1,13.] c. 88,78 Tage [Die maximale Zunahme entspricht dem lokalen Maximum von B’. Dieses wird in der Nullstelle von B’’ angenommen. Mit Technologieeinsatz erhalten wir die Nullstelle 88,78 von B’’.] 395. A , C A ist richtig, weil alle Funktionswerte der Ableitungsfunktion positiv sind. B ist falsch, weil die Ableitungsfunktion keine Nullstelle hat. C ist richtig, weil die Ableitungsfunktion eine Extremstelle hat. D ist falsch, weil die Ableitungsfunktion nur positive Funktionswerte hat. 396. a. C ; Produktregel und Kettenregel: f’ mit f’(x) = 1·e ‒x + x·(‒1)·e ‒x = e ‒x – x·e ‒x b. B ; Quotientenregel: f’ mit f’(x) =   1·(1 + x 2 ) – x·2x ___ (1 + x 2 ) 2 =   1 – x 2 __  (1 + x 2 ) 2 c. A ; Kettenregel: f’ mit f’(x) =   1 _  x 2 ·2x =   2 _ x 397. Die Funktion f besitzt an der Stelle ‒1 eine Extremstelle. f’(x) < 0 für alle x < ‒1, daher ist die Funktion auf (‒ • ; ‒1) streng monoton fallend. Weil f’(x) > 0 ist für alle x > ‒1, ist die Funktion auf (‒1; • ) streng monoton wachsend. Weiters besitzt die Funktion f an der Stelle ‒2 einen Wendepunkt. Weil f’’(x) < 0 für x < ‒2 ist, ist die Funktion auf (‒ • ; ‒2) rechtsgekrümmt. Weil f’’(x) > 0 für alle x > ‒2 ist, ist die Funktion auf (‒2; • ) linksgekrümmt. [Es ist f’(x) = 1·e x + x·e x = (1 + x) ·e x und f’’(x) = (1)·e x + (1 + x)·e x = = (2 + x)·e x . Die Gleichung f’(x) = 0 hat die Lösung x = ‒1 und die Gleichung f’’(x) = 0 die Lösung x = ‒2.] 398. B , C , E A ist falsch, denn f’ ist zunächst fallend, woraus folgt, dass der Graph von f zunächst rechtsgekrümmt ist. B ist richtig, weil die Ableitungsfunktion zwei Nullstellen besitzt und in diesen das Vor zeichen ihrer Funktionswerte wechselt. C ist richtig, weil die Ableitungsfunktion eine Extremstelle besitzt. D ist falsch, weil die Ableitungsfunktion auf R – sowohl positive als auch negative Funk tionswerte hat. E ist richtig, weil die Ableitungsfunktion auf R – monoton fallend ist. Analysis – Optimierung und Regressionsrechnung 399. a = b = 500 [a·b soll maximal sein, wobei a + b = 1000, also b = 1000 – a ist. Daher suchen wir die Maximumstellen der Funktion f mit f(a) = a·(1000 – a) = 1000a – a 2 . Aus f’(a) = 1000 – 2a = 0 erhalten wir die Extremstelle a = 500. Da f’’(a) = ‒2 < 0 ist, ist a = 500 die gesuchte Maximumstelle und b = 1000 – 500 = 500.] 400. a = b = 10m [Der Flächeninhalt ist A = a·b. Der Umfang des Recht- ecks muss 40m betragen, daher ist 2a + 2b = 40 und folglich b = 20 – a. Daher suchen wir eine Maximumstelle der Funktion A mit A(a) = a·(20 – a) = 20a – a 2 . Aus A’(a) = 20 – 2a = 0 erhalten wir die Extremstelle a = 10. Da A’’(10) = ‒2 < 0 ist, ist a = 10 die gesuchte Maximumstelle und b = 20 – 10 = 10.] 401. Bea sollte ein quadratisches Stück Acker mit einer Seitenlänge von 9 __ 10= 3,16m einzäunen. [Die Kosten für den Zaun sind umso größer, je länger der Zaun ist. Der Umfang des Rechteckes soll daher minimal sein. Da a·b = 10 ist, folgt, dass b =   10 _ a  ist. Wir suchen daher eine Minimumstelle der Funktion u mit u(a) = 2a + 2·  10 _ a  . Aus u’(a) = 2 – 20a ‒2 = 0 folgt, dass 2a 2 – 20 = 0, also a = 9 __ 10ist. Da u’’( 9 __ 10) ≈ 1,26 > 0, ist a = 9 __ 10die gesuchte Minimumstelle und b=   10 _  9 __ 10 = 9 __ 10.  5 402. a. f: 0,5; g: 0,4 [Wir ermitteln die quadratischen Abweichungen mithilfe einer Tabelle: x i y i f(x i ) (f(x i ) – y i ) 2 g(x i ) (g(x i ) – y i ) 2 1 3 3 0 2 = 0 3,4 0,4 2 = 0,16 2 5 4,5 (‒0,5) 2 = 0,25 4,8 (‒0,2) 2 = 0,04 3 6 6 0 2 = 0 6,2 0,2 2 = 0,04 4 8 7,5 (‒0,5) 2 = 0,25 7,6 0,4 2 = 0,16 5 9 9 0 2 = 0 9 0 2 = 0 Summe 0,5 0,4 ] b. Die Funktion g ist besser geeignet, da hier die Summe der quadratischen Abweichungen kleiner ist. c. h(x) = 1,5x + 1,7; Summe der quadratischen Abweichungen: 0,3 [Die lineare Regressionsfunktion erhalten wir mit Technologieein- satz aus den Zahlenpaaren (1 1 3), (2 1 5), (3 1 6), (4 1 8) und (5 1 9).] ggb/xls/tns 6k8qt2 403. a. x… Alter; f(x)… Stressindex beim Alter x f mit f(x) = 0,529·x + 27,762 [Die Regressionsfunktion erhalten wir mit Technologieeinsatz aus den Zahlenpaaren (26 1 36), (29 1 42), …, (74 1 65).] b. Der Stressindex steigt pro Lebensjahr um 0,529. ggb/xls/tns yw6g7c 404. a. K mit K(x) = 0,2848x 2 – 0,3046x + 11,12 [Die quadratische Regressionsfunktion erhalten wir mit Techno- logieeinsatz aus den Zahlenpaaren (2 1 12), (4 1 14,5), …, (12 1 48).] b. K mit K(x) = ‒0,0222x 3 + 0,7515x 2 – 3,1224x + 15,6 [Die kubische Regressionsfunktion erhalten wir mit Technologieeinsatz aus den Zahlenpaaren (2 1 12), (4 1 14,5), …, (12 1 48).] c. Da die kubische Funktion für sehr kleine und für große Produktionsmengen fallend ist, ist diese Funktion nicht geeignet, die Kosten zuverlässig zu beschreiben. Die quadratische Kosten funktion ist in diesem Fall besser geeignet. 405. a. b. Das Diagramm lässt vermuten, dass die Schulden exponentiell wachsen, daher ist eine Exponentialfunktion gut geeignet, um diesen Zusammenhang zu modellieren. c. t… Jahr, f(t) … Schuldenstand; f mit f(t) = 110660,74·1,05 t [Da das Jahr 1995 als t = 0 angenommen werden soll, ermitteln wir die exponentielle Regressionsfunktion aus den Zahlenpaaren (0 1 119834), (2 1 119001), …, (20 1 290716) und erhalten mit Technologieeinsatz f mit f(x) = 110660,74·1,05 x .] ggb/xls/tns kb35as ggb/xls/tns 5g87j9 x in ME K(x) in GE 5 0 10 15 25 20 0 40 20 60 80 quadratisch kubisch Jahr Schuldenstand in Mio. EUR 1995 1999 2003 2007 2011 2015 300000 150000 100000 50000 200000 250000 214 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv