Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

3.2 Preistheorie 367. a. 2,25€/kg bei 200kg [ _ K(x) = 0,00005x 2 – 0,0175x + 3,25 + 100x ‒1 ; _ K’(x) = 0,0001x – 0,0175 – 100x ‒2 . Die Nullstelle von _ K’ ist x BO = 200, _ K(200) = 2,25.] b. 1,72€/kg bei 175kg [ _ K v (x) = 0,00005x 2 – 0,0175x + 3,25; _ K v ’(x) = 0,0001x – 0,0175. Die Nullstelle von _ K v ’ ist x BM = 175, _ K v (175) = 1,72.] c. Wenn der Marktpreis gleich der langfristigen Preisuntergrenze ist, dann arbeitet der Betrieb nur dann kostendeckend, wenn die Produktionsmenge genau dem Betriebsoptimum entspricht. Das Betriebsoptimum liegt bei 200kg, es werden aber 100kg produziert. Der Bäcker arbeitet daher nicht kostendeckend. d. Der Betrieb arbeitet nicht kostendeckend, da der Verkaufspreis unter der langfristigen Preisuntergrenze liegt. Ob die variablen Kosten gedeckt sind, hängt von der produzierten Menge ab. 368. a. 49500€ [Mit E(x) = 990x erhalten wir E(50) = 49500.] b. 7750€ [Mit G(x) = E(x) – K(x) = ‒0,23x 3 + 36,7x 2 – 1085x – 1000 erhalten wir G(50) = 7750.] c. 8750€ [Mit D(x) = E(x) – K v (x) = ‒0,23x 3 + 36,7x 2 – 1085x erhalten wir D(50) = 8750.] 369. a. p A (1000) = 500. Der Betrieb ist bereit, 1000 Electroscooter zu produzieren und zu verkaufen, wenn der Marktpreis 500€/Stück beträgt. b. p N (x) = ‒0,5x + 1500 [Aus p N (0) = 1500 und p N (3000) = 0 erhalten wir mit p N (x) = ax + b das Gleichungssystem I) b = 1500 II) a·3000 + b = 0 mit der Lösung a = ‒0,5, b = 1500. Daher ist p N (x) = ‒0,5x + 1500.] c. Der Gleichgewichtspreis ist die zweite Koordinate des Schnitt- punkts der Graphen von p A und p N . 370. a. 958GE/ME [p A (50) = 958] b. 60ME [‒8,97x + 1000 = 461,80 w x = 60] c. 40ME zu 641,20GE/ME [0,36x 2 – 0,72x + 94 = ‒8,97x + 1000 0,36x 2 + 8,25 – 906 = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen ‒62,92 und 40. p N (40) = p A (40) = 641,20] 371. ε = ‒2,059, elastische Nachfrage [relative Änderung der Nachfrage:   63 – 35 _ 35  = 0,8, relative Änderung des Preises:   2,99 – 4,89 __ 4,89  ≈ ‒0,38855; ε =   0,8 __  ‒0,38855 ≈ ‒2,059. †ε† = 2,059 > 1 w elastische Nachfrage.] 372. a. ε = ‒2 [Aus p N (x) = 600 folgt ‒0,3x + 900 = 600 und somit x = 1000. Mit p N ’(x) = ‒0,3 erhalten wir ε =   p N (1000) __ 1000  : p N ’(1000) = =   600 _  1000 : (‒0,3) = ‒2.] b. Die Preissenkung um 1% bewirkt, dass die Nachfrage um †ε† % = 2% steigt. 373. a. Gewinnbereich: 186 Stück bis 5983 Stück [Es ist E(x) = 160x – 0,02x 2 und somit G(x) = E(x) – K(x) = = ‒0,000003x 3 – 0,025x 2 + 80x – 15000. G hat die Nullstellen ‒4502,54, 185,59 und 5983,62. Der Break-Even-Point wird aufgerundet zu 186 Stück, die Gewinngrenze abgerundet zu 5983 Stück.] b. C ≈ (3588 1 88,24) [G’(x) = ‒0,000009x 2 – 0,05x + 80. G’ hat die Nullstellen ‒2477,19 und 3588,30 ≈ 3588. p N (3588) = 88,24.] c. Um den maximalen Gewinn zu erzielen, müssen 3588 Stück produziert und zu 88,24€/Stück verkauft werden. Was habe ich in diesem Semester gelernt? – 7. Semester Analysis – Differenzen- und Differentialquotient 382. A , D B f ist an den Stellen ‒3, ‒2 usw. nicht stetig. C f ist an der Stelle 1 nicht stetig. 383. a. Anhand des Graphen von f sehen wir, dass man diesen an der Stelle 3 nicht in einem Zug zeichnen kann, ein Grenzwert existiert dort daher nicht. b. Anhand des Graphen vermuten wir, dass ein Grenzwert an der stelle ‒4 existiert und ungefähr ‒8 ist. lim     x ¥ ‒4   x 2 – 16 _ x + 4  = lim     x ¥ ‒4   (x – 4)(x + 4) __  x + 4  = = lim    x ¥ ‒4 (x – 4) = ‒4 – 4 = ‒8 384. a. 0,5; Im Streckenabschnitt zwischen 20m und 50m horizontaler Entfernung hat die Bahn eine durchschnittliche Steigung von 50%. [Wir lesen h(50) ≈ 50 und h(20) ≈ 35 ab. Daher ist der Differenzenquotient   50 – 35 _ 50 – 20 = 0,5.] b. Weillim    b ¥ 20   h(b) – h(20) __ b – 20  = h’(20) ist, hat der Konstrukteur die Steigung der Hochschaubahn an der Stelle 20 berechnet. 385. D 386. Der Quotient gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Radfahrers in km/min auf dem Streckenabschnitt Ferleiten–Hochmais an. 387. a. b. Die Steigung der Tangente gibt die momentane Geschwindigkeit des Fahrzeuges zum Zeitpunkt t 0 in m/s an. 388. a. 1,143 4    10 – 2 _ 8 – 1  =   8 _ 7 ≈ 1,143  5 b. Die Steigung gibt die mittlere Beschleunigung in m/s 2 zwischen 1 und 8 Sekunden an. 389. 45,5 Anrufe/Stunde 4    143 – 52 __ 3 – 1  =   91 _ 2  ≈ 45,5  5 390. a. zwischen 1910 und 1960: 9440 Einwohner/innen pro Jahr zwischen 1960 und 2010: 26320 Einwohner/innen pro Jahr 4    7,086Mio. – 6,614Mio. ___ 1960 – 1910  = 9440;   8,402Mio. – 7,086Mio. ___  2010 – 1960  = 26320  5 b. Die mittlere Änderungsrate ist stark gestiegen. Die Bevölkerung hat sich in den Jahren 1960–2010 fast dreimal so stark vermehrt wie in den Jahren 1910–1960. Analysis – Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln 391. a. C b. B 392. a. x y 0 -8 8 -8 8 f x y 0 -8 8 -8 8 f Zeit in s Weg in m 2 0 4 6 10 12 14 8 0 2 4 6 8 10 s t 0 Zeit in min Aufmerksamkein in % 10 0 20 30 50 60 40 0 20 40 60 80 100 f f’ 213 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv