Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 1 Differentialrechnung 1.1 Stetige Funktionen und Grenzwerte von Funktionen 13. A , C , D B ist an den Stellen 2 und 3 nicht stetig. 14. a. Anhand des Graphen von f (siehe unten) sehen wir, dass man diesen an der Stelle ‒1 nicht in einem Zug zeichnen kann, ein Grenzwert existiert dort daher nicht. b. Anhand des Graphen vermuten wir, dass ein Grenzwert an der Stelle 1 existiert und ungefähr 3 ist. Weil f(x) =   x 2 + x – 2 __ x – 1  =   (x + 2)(x – 1) __ (x – 1)  = (x + 2) ist, ist  lim    x ¥ 1 f(x) =  lim   x ¥ 1 (x + 2) = 3. a. b. 1.2 Differenzenquotient und Differentialquotient 59. a. zwischen 1956 und 1975: 208,3 Betten/Jahr zwischen 1985 und 1995: 117,5 Betten/Jahr 4    5658 – 1700 __ 1975 – 1956  ≈ 208,3;   8500 – 7325 __ 1995 – 1985  ≈ 117,5  5 b. Im Zeitraum von 1956 bis 1975 ist die Anzahl der Betten in St. Anton jährlich um durchschnittlich 208,3 Betten gewachsen, im Zeitraum von 1975 bis 1995 nur noch um 117,5 Betten. Die Bettenzahl ist also während dieser Jahre immer größer geworden, das Wachstum war aber von 1985 bis 1995 schwächer. 60. a. um 1,16cm/Jahr 4    f(50) – f(40) __ 50 – 40  =   33,426 – 21,806 __ 10  = 1,162  5 b. Die Steigung beträgt ca.   48 – 8 _  60 – 20 = 1cm/Jahr, das heißt, dass die minimale Sehweite zwischen dem 20. und dem 60. Lebens- jahr durchschnittlich um 1cm pro Jahr zunimmt. 61. a. 10m/s 4    70m – 20m __ 6s – 1s  = 10m/s  5 b. Die Steigung der Tangente entspricht der Momentangeschwindig- keit zum Zeitpunkt t = 3s. 62. a. f’(a) = 2a [f’(a) = lim    b ¥ a   b 2 – a 2 _ b – a  = lim    b ¥ a   (b + a)(b – a) __ b – a  = lim    b ¥ a (b + a) = a + a = 2a] b. 6 [f’(3) = 2·3 = 6] 63. E 1.3 Ableitungsregeln 96. a. f’ mit f’(x) = 15x 2 + 2x – 2 b. f’ mit f’(x) = 15x 2 – 34x + 14 c. f’ mit f’(t) =   2 _ 3 ·t – 4 97. a. f’ mit f’(x) = ‒  6 _  x 4 [aus f(x) = 2x ‒3 folgt f’(x) = ‒6x ‒4 ] b. f’ mit f’(x) =   2 _  x 3 [aus f(x) = ‒x ‒2 folgt f’(x) = + 2x ‒3 ] c. f’ mit f’(x) =   1 _  2 9 _ x 4 aus f(x) = x   1 _ 2 folgt f’(x) =   1 _ 2 ·x ‒  1 _ 2   5 d. f’ mit f’(x) = ‒  1 _  3 3 9 __ x 4   4 aus f(x) = x ‒  1 _ 3 folgt f’(x) = ‒  1 _ 3 ·x ‒  4 _ 3   5 98. a. f’ mit f’(x) = 3·e 3x [Kettenregel] b. f’ mit f’(x) = 2x·e x + x 2 ·e x [Produktregel] c. f’ mit f’(x) =   2x – 2 _ x 2 – 2x [Kettenregel] d. f’ mit f’(x) = 2x·ln(2x – 1) +   2x 2 _  2x – 1 [Produkt- und Kettenregel] 99. a. B [f’(x) = e x ·(2x 2 + 1) + e x ·(4x) = e x ·2x 2 + e x + e x ·4x = = 2e x x 2 + 4xe x + e x ] b. C [f’(x) = 1·e 2x + x·2·e 2x = e 2x + 2xe 2x ] 100. h’ mit h’(x) =   2x 2 + 6x – 5 __ (2x + 3) 2 [Quotientenregel für f mit f(x) = x 2 – x + 1 und g mit g(x) = 2x + 3: h’(x) =   (2x – 1)(2x + 3) – (x 2 – x + 1)·2 ____  (2x + 3) 2 = =   (4x 2 – 2x + 6x – 3) – (2x 2 – 2x + 2) _____  (2x + 3) 2 =  2x 2 + 6x – 5 __ (2x + 3) 2   5 1.4 Monotonie, Extremstellen und lineare Näherung 123. streng monoton wachsend auf den Intervallen (‒ • ; ‒5) und (3; • ), streng monoton fallend auf dem Intervall (‒5; 3) [Die Ableitung von f ist die quadratische Funktion f’ mit f’(x) = 0,375x 2 + 0,75x – 5,625. Deren Nullstellen sind ‒5 und 3. Da der Leitkoeffizient der quadratischen Funktion positiv ist, ist f’(x) für t * (‒5; 3) negativ und für x * (‒ • ; ‒5) oder x * (3; • ) positiv. Somit ist f im Intervall (‒5; 3) streng monoton fallend und in den Intervallen (‒ • ; ‒5) und (3; • ) streng monoton wachsend.] 124. Mithilfe der Kettenregel berechnen wir f’(t) = e ‒2t ·(‒2). Da e ‒2t > 0 ist, ist e ‒2t ·(‒2) < 0. Also ist f’(t) < 0 für alle t * R und somit ist f streng monoton fallend. 125. E 1 = (‒2 1 0,541) und E 2 = (0 1 0) [f’(z) = 2z·e z + z 2 ·e z = (z 2 + 2z)·e z . Da e z stets positiv ist, kann f’(z) nur 0 sein, wenn z 2 + 2z = 0 ist. Das ist genau der Fall, wenn z = 0 oder z = ‒2 ist. Daher können nur ‒2 und 0 Extremstellen von f sein. Für z < ‒2 und z > 0 ist f’(z) eine positive Zahl, für ‒2 < z < 0 ist f’(z) aber negativ. Daher ist ‒2 eine Maximumstelle und 0 eine Minimumstelle von f. x y 0 -2 -4 2 -2 -4 2 4 f x y 0 -2 -4 2 -2 -4 2 4 f Alter in Jahren minimale Sehweite in cm 10 0 20 30 50 60 70 40 0 10 20 30 40 50 60 s A B Zeit in Sekunden Weg in Meter 1 0 2 3 5 6 7 4 0 10 20 30 40 50 60 70 s 70m – 20m 6s – 1s Zeit in Sekunden Weg in Meter 1 0 2 3 5 6 7 4 0 10 20 30 40 50 60 70 s t Anhang 210 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv