Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

186 664 Die Tabelle gibt die Gehaltstatistik eines Betriebs wieder. a. Zeichne den Graphen der Lorenzkurve. b. Ermittle mithilfe der Regressionsrechnung eine Polynomfunktion mit Grad 3, deren Graph den Verlauf dieser Lorenzkurve möglichst gut wiedergibt. c. Berechne den Gini-Koeffizienten der Gehaltsverteilung. a. Zunächst berechnen wir die Klassenmitten als arithmetischen Mittelwert zwischen Untergrenze und Obergrenze der Gehaltsklassen (siehe erste Spalte in der Tabelle unten). Damit berechnen wir näherungsweise das Gesamtgehalt der Personen jeder einzelnen Gehaltsklasse (dritte Spalte). Durch Aufsummieren dieser Zahlen erhalten wir schließlich näherungsweise das Gesamtgehalt aller Personen. Als nächstes dividieren wir die Anzahl der Personen der einzelnen Gehaltsklassen durch die Gesamtzahl aller Angestellten und das Gesamtgehalt der einzelnen Gruppen durch das Gesamtgehalt aller Angestellten (vierte und fünfte Spalte). Schließlich summieren wir die relativen Anteile der Personen und der Gehälter jeweils zu den „kumulierten relativen Anteilen“ (sechste und siebte Spalte). Klassen mitte Anzahl d. Personen Gesamtgehalt der Gruppe rel. Anteil der Personen rel. Anteil des Gehalts kum. Anteil d. Personen kum. Anteil d. Gehalts 1 500€ 35 52500€ 0,438 0,270 0,438 0,270 2500€ 23 57500€ 0,288 0,296 0,725 0,566 3500€ 17 59500€ 0,213 0,306 0,938 0,871 5000€ 5 25000€ 0,063 0,129 1,000 1,000 Summe: 80 194500€ 1 1 Die letzten beiden Spalten dienen uns als Wertetabelle für die Lorenzkurve (Zeichnung rechts). b. Mithilfe einer geeigneten Technologie berechnen wir die kubische Regressionsfunktion durch die Punkte (0 1 0), (0,438 1 0,270), (0,725 1 0,566), (0,938 1 0,861), (1 1 1) und erhalten L(x) = 0,467x 3 – 0,007x 2 + 0,534x. c. Der Ginikoeffizient ist das Doppelte der Fläche zwischen der 1. Mediane und der Lorenzkurve 2· :  0   1 (x – (0,467x 3 – 0,007x 2 + 0,534x)) dx ≈ 0,237. 665 Die Bruttogehälter der Angestellten eines Betriebs sind wie in der Tabelle dargestellt verteilt. a. Zeichne die Lorenzkurve zu dieser Verteilung. b. Ermittle mithilfe der Regressionsrechnung eine Polynomfunktion L vom Grad 4, die den Verlauf der Lorenzkurve möglichst gut beschreibt. c. Berechne mithilfe dieser Funktion L den Gini-Koeffizienten dieser Gehaltsverteilung. 666 Die monatlichen Haushaltseinkommen einer kleinen Gemeinde sind in der Tabelle dargestellt. a. Zeichne die Lorenzkurve, um die Verteilung der Haushaltseinkommen darzustellen. b. Ermittle mithilfe der Regressionsrechnung eine Polynomfunktion mit Grad 3, die den Verlauf der Lorenzkurve gut beschreibt. c. Berechne mithilfe der Funktion aus Aufgabe b. den Gini-Koeffizienten. A, B Gehaltsklasse Anzahl d. Personen 1 000€–1 999,99€ 35 2000€– 2999,99€ 23 3000€– 3999,99€ 17 4000€– 6000€ 5 eine Lorenzkurve durch eine Polynomfunktion annähern und den Gini-Koeffizienten berechnen ggb jt6dr4 kumulierter Bevölkerungsanteil kumulierter Vermögensanteil 0,2 0 0,4 0,6 1 0,8 0 0,4 0,2 0,6 1 0,8 A, B ; Gehaltsklasse Anzahl d. Personen unter 1 000€ 15 1 000€–1 999,99€ 33 2000€– 2999,99€ 18 3000€– 4000€ 4 Haushaltseinkommen Anzahl d. Haushalte unter 1 499,99€ 52 1 500€– 2999,99€ 43 3000€– 4500€ 22 ; A, B Beschreibende Statistik Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv