Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

183 Um die Gehaltsverteilungen mehrerer Betriebe vergleichen zu können, verwenden wir anstelle des tatsächlichen Gehalts eines Angestellten dessen relativen Anteil am Gesamtgehalt aller Angestellten und anstelle der kumulierten Personenzahl nehmen wir deren Anteil an der Gesamtzahl aller Angestellten. Das heißt, anstatt beispielsweise „Die ersten 3 der 5 Angestellten erhalten zusammen 3700€ von 10000€“, sagen wir „Die ersten   3 _ 5 = 60% der Angestellten erhalten zusammen 37% des Gesamtgehalts“. Der entsprechende Graph wird Lorenzkurve dieser Gehaltsverteilung genannt. Die Ungleich verteilung erkennt man jetzt aus der Abweichung der Lorenzkurve von der grau punktiert eingezeichneten 1. Mediane (= Lorenzkurve der Gleichverteilung). Der Inhalt der Fläche zwischen der Lorenzkurve und der 1. Mediane ist ein Maß für die Ungleich- heit der Einkommensverteilung. Man gibt das Verhältnis dieses Flächeninhaltes zu   1 _ 2 , dem Flächeninhalt bei maximaler Ungleichverteilung (das gesamte Gehalt erhält eine einzige Person, alle anderen erhalten nichts) an (also das Doppelte des ersten Flächeninhaltes). Dieses Maß für die Ungleichverteilung nennt man Gini-Koeffizient dieser Gehaltsverteilung. Mit y 1 , …, y n bezeichnen wir die Merkmalsausprägungen des Merkmals y mit 0 < y 1 ª … ª y n und mit s i = ;  k = 1   i y k die i-te Merkmal summe („kumulierte“ Merkmalsausprägungen; s n ≠ 0). Die Lorenzkurve des Merkmals y erhält man, indem man die Punkte (0 1 0), 2    1 _ n   1    s 1 _  s n     3 , 2    2 _ n   1    s 2 _  s n     3 , …, 2    i _  n   1    s i _  s n     3 , …, 2    n _ n   1    s n _  s n     3 durch Strecken verbindet. Diese Kurve ist der Graph einer Funktion vom Intervall [0; 1] in das Intervall [0; 1], welche Lorenzfunktion des Merkmals heißt. Ein wichtiges Beispiel ist die Lorenzfunktion des Merkmals Haushaltseinkommen: Sie ordnet jeder Zahl t im Intervall [0; 1] den Anteil am Gesamteinkommen der einkommensschwächsten 100·t Prozent aller Haushalte dieses Landes zu. Der Gini-Koeffizient ist das Doppelte des Inhaltes der Fläche zwischen der ersten Mediane und der Lorenzkurve. Wenn der Gini-Koeffizient der Lorenzfunktion des Merkmals Haushalts einkommen nahe bei 0 ist, sind alle Einkommen fast gleich, wenn er nahe bei 1 ist, sind die Einkommensunterschiede groß. Der Gini-Koeffizient einer integrierbaren Lorenzfunktion L ist 2 :  0   1 (t – L(t)) dt . Tipp Den Inhalt der zur Berechnung des Gini-Koeffizienten nötigen Fläche bestimmt man entweder als Summe von Flächeninhalten von Trapezen, oder man bestimmt die Lorenzkurve näherungs- weise mithilfe der Regressionsrechnung und verwendet zur Berechnung des Flächeninhaltes das Integral. GeoGebra Vieleck[ <Liste von Punkten> ] Lorenzkurve kumulierter Bevölkerungsanteil kumulierter Einkommensanteil 0 1 0 1 L Gini-Koeffizient Vieleck zeichnen und Flächeninhalt berechnen ggb j326hw 5.3 Lorenzkurve und Gini-Koeffizient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv