Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

145 Konsumenten- und Produzentenrente Lisa häkelt in ihrer Freizeit Wollmützen und hat sich vorgenommen, diese im Internet zu verkaufen. Sie macht sich zuvor folgende Gedanken: Wenn sie für eine Mütze durchschnittlich 10€ erhält, wäre sie bereit, insgesamt 20 Mützen zu häkeln und anzubieten. Wäre der Verkaufspreis hingegen 20€, so würde sie mehr Arbeit auf sich nehmen und sogar 60 Mützen anbieten. Lisa bestimmt daraus eine lineare Funktion als Preis- funktion des Angebots p A mit p A (x) = ​  x _ 4 ​+ 5. Um sich einen Überblick zu verschaffen, zu welchem Preis sie ihre Mützen verkaufen kann, beschließt Lisa, eines der Modelle zu versteigern. Dabei findet sie heraus, dass bei einem Preis von 18€ noch 10 Personen bereit waren, die Mütze zu ersteigern. Als der Preis schließlich auf 22€ ging, waren nur noch 2 Personen bereit, diesen Preis zu bezahlen. Lisa nimmt an, dass die Preisfunktion p N der Nachfrage linear ist und erhält aus p N  (10) = 18 und p N  (2) = 22, dass p N  (x) = ‒ ​  x _ 2 ​+ 23 ist, das heißt, x Personen würden ‒ ​  x _ 2 ​+ 23€ für eine Mütze bezahlen. Aus diesen beiden Preisfunktionen ermittelt Lisa, dass das Marktgleichgewicht bei 24 Mützen zu einem Preis von je 11€ liegt. Lisa wird daher alle 24 Mützen zu einem Preis von 11€/Stück verkaufen können und damit einen Erlös von 24·11€ = 264€ erzielen. Dieser Erlös lässt sich als Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen 24 und 11 darstellen. Betrachten wir jetzt noch einmal Lisas Preisfunktion des Angebots p A mit p A (x) = ​  x _ 4  ​+ 5: Hätte Lisa eine Mütze nach der anderen zum Verkauf angeboten und sich streng an diese Preisfunktion gehalten, so hätte sie die erste Mütze bereits um p A (1) = 5,25€ verkauft, die zweite Mütze dann um p A (2) = 5,50€ … und schließlich erst die 24. Mütze um p A (24) = 11€. Der Erlös, den Lisa auf diese Weise erzielt hätte, beträgt 5,25€ + 5,50€ + … + 11€ = 195€ und kann als Inhalt der Fläche zwischen dem Intervall [0; 24] und dem Graphen von p A interpretiert werden. Den zusätzlichen Betrag, den Lisa erwirtschaftet, indem sie alle 24 Mützen zum Gleichgewichts- preis von 11€ verkauft, bezeichnet man als Lisas Produzentenrente . Sie entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der konstanten Funktion 11 und p A . In diesem Fall beträgt die Produzentenrente 264€ – 195€ = 69€. Die individuelle Produzentenrente ist die Differenz zwischen dem Preis, zu dem ein Anbieter zum Verkauf einer Ware an einen Käufer bereit gewesen wäre, und dem tatsächlichen Kaufpreis. Die Summe der individuellen Produzentenrenten beim Verkauf einer Ware heißt Produzenten­ rente . Wurden aME der Ware zum Preis p = p A  (a) verkauft, dann kann die Produzentenrente näherungsweise durch ​ :  0 ​  a ​ (p – ​p​ A ​ (x)) dx​ berechnet werden.  ggb bt782p Erlös Anzahl der Mützen Preis in € 0 5 10 15 20 25 20 16 24 28 32 12 8 4 0 p N p A Marktgleichgewicht (24 1 11) Produzenten- rente Anzahl der Mützen Preis in € 0 5 10 15 20 25 20 16 24 28 32 12 8 4 0 p N p A Marktgleichgewicht (24 1 11) individuelle Produzenten- rente Produzenten- rente 4.3 Wirtschaftliche Anwendungen der Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv