Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

143 4.3 Wirtschaftliche Anwendungen der Integralrechnung Ich lerne mithilfe der Integralrechnung Stammfunktionen von wirtschaftlichen Grenzfunktionen zu berechnen und zu interpretieren. Ich lerne mithilfe der Integralrechnung die Konsumentenrente und Produzentenrente zu berechnen und zu interpretieren. Ich lerne kontinuierliche Zahlungsströme mithilfe der Integralrechnung zu interpretieren. Grenzfunktionen In der Kostentheorie werden Ableitungsfunktionen oft als Grenzfunktionen bezeichnet. Bereits bekannt ist uns aus Kapitel 3 die Grenzkostenfunktion als Ableitung der Kostenfunktion. Wir haben gesehen, dass die Ableitung K’(x) an der Stelle x einer Kostenfunktion K eine gute Näherung für die Kosten der Produktion einer weiteren Mengeneinheit ist. Genauso stellt sich die Frage, welchen Erlös und welchen Gewinn die Produktion einer weiteren Mengeneinheit bringt. Im Weiteren wollen wir daher auch die folgenden Grenzfunktionen betrachten: Die Grenzerlösfunktion ist die Ableitung der Erlösfunktion. Die Grenzgewinnfunktion ist die Ableitung der Gewinnfunktion. 513 Ermittle für die Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 0,15x 2 – 0,4x + 5 die passende Kostenfunktion, wenn die Fixkosten 600GE betragen. Da K’ die Ableitung der Kostenfunktion ist, ist K = ​ :  ​  ​ K’(x) dx​= 0,05x 3 – 0,2x 2 + 5x + c. Die Fixkosten betragen 600GE, daher muss c = 600 sein. Also ist die Kostenfunktion die Funktion K mit K(x) = 0,05x 3 – 0,2x 2 + 5x + 600. 514 Von einem Produktionsbetrieb sind die Grenzkostenfunktion K’ sowie die Fixkosten F bekannt. Ermittle die Kostenfunktion K. a. K’(x) = 0,06x 2 – 0,2x + 4; F = 780GE b. K’(x) = 1,77x 2 – 51x + 830; F = 1 200GE 515 Ein Unternehmen hat die Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 0,36x 2 + 13,4x + 260. a. Ermittle die Funktion K v  , die jeder Produktionsmenge die dafür entstehenden variablen Kosten zuordnet. b. Bei einer Produktion von 40ME betragen die Gesamtkosten 9960GE. Berechne die Fixkosten. 516 Ermittle für die Grenzerlösfunktion E’ mit E’(x) = ‒ 0,2x + 10 die passende Erlösfunktion. Da E’ die Ableitung der Erlösfunktion ist, ist E = ​ :  ​  ​ E’(x) dx​= ‒ 0,1x 2 + 10x + c. Bei 0 verkauften Einheiten muss der Erlös 0 sein, daher ist E(0) = 0 und somit ist die Erlös­ funktion E mit E(x) = ‒ 0,1x 2 + 10x. 517 Berechne aus der Grenzerlösfunktion E’ die Erlösfunktion E. Beachte, dass stets E(0) = 0 sein muss. a. E’ mit E’(x) = ‒ 2,8x + 400 b. E’ mit E’(x) = ‒ ​  ​x​ 2 ​ _ 50 ​+ 1 000 Grenzerlös­ funktion Grenzgewinn­ funktion B die Kostenfunktion aus der Grenzkosten­ funktion berechnen B : A, B , B die Erlösfunktion aus der Grenz­ erlösfunktion berechnen B : 4.3 Wirtschaftliche Anwendungen der Integralrechnung Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv