Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

139 Mittelwertberechnung Am 1. Mai befanden sich auf Lukas Sparbuch 1 280€. Am 11. Mai zahlte er 200€ ein, am 28. Mai hob er 540€ ab. Mehr Ein- und Auszahlungen fanden im Monat Mai nicht statt. Welcher Betrag befand sich durchschnittlich auf Lukas Sparbuch? Wir können das Guthaben auf Lukas Sparbuch in einer Tabelle oder einem Diagramm darstellen: Datum Guthaben 1. Mai 1 280€ 11. Mai 1 480€ 28. Mai 940€ Um herauszufinden, welcher Betrag sich durchschnittlich auf Lukas Sparbuch befand, können wir nicht einfach den arithmetischen Mittelwert ​  1280€ + 1480€ + 940€ ____ 3  ​= 1 233,33€ berechnen, da wir dabei nicht berücksichtigen, wie lange der jeweilige Betrag auf dem Sparbuch gelegen ist. Es waren 10 Tage lang 1 280€ (1. bis 10. Mai), 17 Tage lang 1 480€ (11. bis 27. Mai) und die restlichen 4 Tage 940€ (28. bis 31. Mai). Daher ist das durchschnittliche Guthaben im Monat Mai ​  1280€·10 + 1480€·17 + 940€·4 _____  31  ​= 1 345,81€. Die Summe 1 280·10 + 1 480·17 + 940·4 kann man dabei auch als Inhalt der Fläche zwischen der Funktion G, die jedem Tag t des Monats Mai das Guthaben G(t) am Tag t zuordnet, und der t-Achse deuten. Dieser Flächeninhalt entspricht wiederum dem bestimmten Integral ​ :  0 ​  31 ​ G(t) dt​. Somit ist das durchschnittliche Guthaben im Monat Mai ​  1 _  31 ​·​  :  0 ​  31 ​    G(t) dt​= 1 345,81€. Der Mittelwert einer Funktion f auf dem Intervall [a; b] ist ​ _ f​= ​  1 _  b – a ​·​ :  a ​  b ​ f(x) dx​ . Wenn f im Intervall [a; b] keine negativen oder keine positiven Funktionswerte hat, so ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [a; b] gleich dem Flächenin- halt des Rechtecks mit der Breite (b – a) und der Höhe ​ _ f​. Tag Euro 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1280 € 1480 € 940 € Tag Euro 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1280 ∙ 10 = 12800 1480 ∙ 17 = 25160 940 ∙ 4 = 3760 1280 € 1480 € 940 € Mittelwert einer Funktion auf [a; b] x y 0 a b f f 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv