Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

134 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen Eine Tierhandlung möchte ihr hier abgebildetes Firmenlogo auf die Fassade ihres Geschäftes malen lassen. Da das Logo mithilfe eines Computerprogramms erstellt wurde, ist bekannt, dass die beiden Begrenzungslinien durch die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 0,15x 3 – 2,45x 2 + 12,6 x – 15,8 und g(x) = 0,45x 2 – 4,75x + 14,2 dargestellt werden können. Die im Koordinatensystem verwendete Einheit ist dabei Meter. Welchen Flächeninhalt hat dieses Logo? Mithilfe der Integralrechnung können wir bislang nur Flächen berechnen, die zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse liegen. Diese Fläche liegt allerdings zwischen zwei Funktionsgraphen. Aus der Grafik lesen wir ab, dass sich die beiden Funktionsgraphen in den Punkten mit den x-Koordina- ten 3 und 8 schneiden. Der Flächeninhalt der gelben Fläche ist offenbar die Differenz der Inhalte der Flächen zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [3; 8] und zwischen dem Gra- phen von g und dem Intervall [3; 8]. Also rechnen wir :  3   8 f(x) dx– :  3   8 g(x) dx= :  3   8 (f(x) – g(x)) dx= :  3   8 (0,15x 3 – 2,9x 2 + 17,35x – 30) dx= 8,854. Der Flächeninhalt dieses Logos beträgt also 8,854m 2 . Wenn die Graphen der Funktionen f und g über dem Inneren des Intervalls [a; b] keinen Schnitt- punkt besitzen, so ist der Inhalt der Fläche, die über dem Intervall [a; b] von den Graphen von f und g begrenzt wird, A = |  :  a   b f(x) dx– :  a   b g(x) dx  | = |  :  a   b (f(x) – g(x)) dx  | . GeoGebra IntegralZwischen[ <Funktion> , <Funktion> , <Startwert> , <Endwert> ] 475 Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f mit f(x) = x 3 + x 2 – 6x – 2 und g mit g(x) = x 2 – 2x – 2 eingeschlossen wird. Wir lösen die Gleichung x 3 + x 2 – 6x – 2 = x 2 – 2x – 2 und erhalten daraus die Schnittstellen ‒2, 0 und 2. Die gesuchte Fläche zerfällt in zwei Teile, die wir getrennt berechnen. Eine Stammfunktion von f – g ist F = :    (f(x) – g(x)) dx= = :    ((x 3 – x 2 – 6x – 2) – (x 2 – 2x – 2)) dx= = :    (x 3 – 4x) dx=   x 4 _  4 – 2x 2 . Damit erhalten wir die Inhalte der beiden Teilflächen A 1 = † F(0) – F(‒ 2) † = † 0 – 4 † = † ‒ 4 † = 4 A 2 = † F(2) – F(0) † = † 4 – 0 † = † 4 † = 4 Der gesuchte Flächeninhalt ist A = A 1 + A 2 = 8. ggb gc37kh x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 g f Flächeninhalt zwischen zwei Funktions- graphen Flächeninhalt zwischen zwei Funktions graphen berechnen ggb g359ia tns 756ir6 B den Flächeninhalt zwischen zwei Funktions graphen berechnen x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 5 - 6 5 6 4 A 1 A 2 g f Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv