Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

133 470 Neben einer Autobahn soll ein Lärm- schutzwall aufgeschüttet werden, dessen Querschnittsprofil in der Zeichnung dargestellt ist. Die Längen- einheit im Koordinatensystem ist dabei Meter. Das Querschnittsprofil wird vom Graphen der Polynom­ funktion f mit f(x) = ‒ ​  x 3 _  9  ​– ​  4x 2 _  3  ​– 4x über dem Intervall [‒6; 0] erzeugt. a. Berechne die Höhe des Lärmschutzwalls. b. Ermittle die Breite des Lärmschutzwalls in einer Höhe von 2m. c. Berechne die Querschnittsfläche des Lärmschutzwalls. d. Berechne, wie viel Kubikmeter Erde erforderlich sind, um diesen Lärmschutzwall auf einer Länge von 800m aufzuschütten. 471 Stelle die Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,5x 3 – x 2 – 2,5x + 3 und der x-Achse eingeschlossen wird, graphisch dar und berechne ihren Flächeninhalt. Mit einer geeigneter Technologie berechnen wir die Nullstellen von f: ‒ 2, 1 und 3. Die Fläche erstreckt sich daher über dem Intervall [‒2; 3] und zerfällt in zwei Teilflächen, die wir einzeln berechnen müssen. Eine Stammfunktion von f ist F mit F(x) = 0,125x 4 – ​  1 _ 3 ​x 3 – 1,25x 2 + 3x. Die Inhalte der zwei Teilflächen sind somit A 1 = † F(1) – F(‒ 2) † = ​ |  ​  37 _ 24 ​– ​ 2  ‒ ​  19 _ 3  ​  3 ​  | ​= ​ |  ​  63 _ 8  ​  | ​= 7,875 und A 2 = † F(3) – F(1) † = ​ |  ‒ ​  9 _ 8 ​– ​  37 _  24 ​  | ​= ​ |  ‒ ​  8 _ 3 ​  | ​= ​  8 _ 3 ​≈ 2,667. Der gesamte Flächeninhalt ist A = A 1 + A 2 = 10,542. 472 Der Graph der Funktion f und die x-Achse schließen eine Fläche ein. Stelle diese Fläche graphisch dar und berechne ihren Flächeninhalt. a. f(x) = ‒ x 2 – 2x + 15   b.  f(x) = 0,05x 3 – 0,3x 2 – 0,95x + 4,2   c.  f(x) = ‒ 0,15x 3 + 1,2x 2 – 1,35x – 2,7 473 Berechne den Flächeninhalt der vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossenen Fläche. a. f(x) = x 3 – 3x 2 – x + 3 b. f(x) = x 3 – 2x 2 – 8x c. f(x) = x 3 + 8x 2 + 17x + 10 474 Die Funktion f ist durch ihren Graphen gegeben. Entscheide, ob das angegebene bestimmte Inte- gral positiv oder negativ ist. a. ​ :  ‒5 ​  3 ​ f(t) dt​ c. ​  :  15 ​  18 ​    f(t) dt​ e. ​ :  ‒5 ​  7 ​ f(t) dt​ b. ​ :  3 ​  7 ​ f(t) dt​ d. ​  :  7 ​  13 ​    f(t) dt​ f. ​  :  7 ​  20 ​   f(t) dt​ , A, B x y 0 1 -1 2 4 3 3 2 1 - 3 - 2 - 4 - 5 - 7 - 6 - 1 Lärmschutzwall Autobahn f  ggb t9e4gd eine zusammen­ gesetzte Fläche berechnen B x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 4 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 A 1 A 2 f B , B , C , x y - 2 - 4 - 6 8 10 12 14 16 18 20 22 6 4 2 0 - 2 - 4 4 2 6 f 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv