Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

130 459 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,2x 2 + 2x. a. Zeichne den Graphen von f über dem Intervall [0; 10]. b. Berechne eine möglichst große Untersumme über [0; 10] für eine Zerlegung in zehn gleich breite Teilintervalle und veranschauliche sie im Koordinatensystem. c. Berechne eine möglichst kleine Obersumme über [0; 10] für eine Zerlegung in zehn gleich breite Teilintervalle und veranschauliche sie im Koordinatensystem. d. Interpretiere diese Unter- und Obersumme hinsichtlich des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [0; 10]. 460 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ 0,2x 3 + 1,6x 2 – 3x + 4. a. Zeichne den Graphen von f über dem Intervall [0; 6]. b. Berechne eine möglichst große Untersumme über [0; 6] für eine Zerlegung in zwölf gleich breite Teilintervalle und veranschauliche sie im Koordinatensystem. c. Berechne eine möglichst kleine Obersumme über [0; 6] für eine Zerlegung in zwölf gleich breite Teilintervalle und veranschauliche sie im Koordinatensystem. d. Interpretiere diese Unter- und Obersumme hinsichtlich des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [0; 6]. Das bestimmte Integral Wir haben am Beginn des vorigen Abschnitts gesehen, dass der Inhalt der Fläche zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen einer konstanten Funktion c gleich c·(a – b) ist. Die Funktion F mit F(x) = c·x ist eine Stammfunktion der konstanten Funktion c. Mithilfe von F können wir den Flächeninhalt c·(a – b) auch als F(b) – F(a) schreiben. Ist f eine lineare Funktion mit f(x) = k·x + d und hat keine Nullstellen in [a; b], dann ist die Fläche zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f ein Trapez mit der Höhe (b – a), dessen parallele Seiten die Längen f(a) und f(b) haben. Der Flächeninhalt dieses Trapezes ist daher   (f(a) + f(b))·(b – a) ___ 2  =   (k·a + d + k·b + d)·(b – a) ____ 2  =   k·a·b + d·b + k·b 2 + d·b – k·a 2 – d·a – k·a·b – d·a _______ 2  = =   k·b 2 + 2d·b – k·a 2 – 2d·a ____ 2  = 2    k _ 2 ·b 2 + d·b  3 – 2    k _ 2 ·a 2 + d·a  3 . Die Funktion F mit F(x) =   k _ 2 ·x 2 + d·x ist eine Stammfunktion von f. Mithilfe von F können wir den gesuchten Flächeninhalt wieder schreiben als F(b) – F(a). Man kann zeigen, dass das auch für andere Funktionen gilt: Für jede Funktion f: [a; b] ¥ R , die eine Stammfunktion F hat, nennen wir F(b) – F(a) das bestimmte Integral von f über dem Intervall [a; b] und schreiben dafür :  a   b f(t) dt= F(b) – F(a) (sprich: Integral von a bis b f(t) dt) oder :  a   b f(t) dt= F(t)  1 a   b . Wenn zusätzlich f º 0 ist, ist der Inhalt der Fläche zwischen den Intervall [a; b] und dem Graphen von f gleich :  a   b f(t) dt= F(b) – F(a) . Tipp Wegen (F + c)(b) – (F + c)(a) = F(b) + c – F(a) – c = F(b) – F(a) ist es gleich, welche Stammfunktion von f für die Berechnung des bestimmten Integrals verwen- det wird. B, C , B, C , (f(a) + f(b)) ∙ (b – a) 2 x y 0 a b f (a) f (b) b – a f bestimmtes Integral Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv