Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

127 Sind f und g auf dem Intervall [a; b] definierte Funktionen, so sagen wir, f ist auf [a; b] kleiner gleich g (und schreiben f ª g), wenn für alle Zahlen x im Intervall [a; b] gilt: f(x) ª g(x). In diesem Fall ist der Inhalt der Fläche zwischen f und dem Intervall [a; b] kleiner oder gleich dem Inhalt der Fläche zwischen g und [a; b]. Beispiel: Betrachten wir die Funktionen f mit f(x) = x 2 + 1 und g mit g(x) = e x . Auf dem Intervall [0; 3] ist f ª g, auf dem Intervall [‒ 3; 0] ist hingegen g ª f. Wie berechnen wir den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,3x 2 und dem Intervall [1; 5]? Wir lösen diese Aufgabe, indem wir f zunächst durch folgende Treppenfunktion S mit S ª f annähern: S: [1; 5] ¥ R , S(x) = Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von S und dem Intervall [1; 5] ist dann (2 – 1)·0,3 + (3 – 2)·1,2 + (4 – 3)·2,7 + (5 – 4)·4,8 = = 1·0,3 + 1·1,2 + 1·2,7 + 1·4,8 = 9. Wir nennen diesen Flächeninhalt eine Untersumme von f. Der gesuchte Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [1; 5] muss größer oder gleich 9 sein. Den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen einer Treppenfunktion mit nicht-negativen Funktionswerten, die kleiner gleich f ist, und dem gegebenen Intervall nennt man auch eine Untersumme von f. Weiters können wir f auch durch eine Treppenfunktion T mit f ª T annähern. Dazu wählen wir: T: [1; 5] ¥ R , T(x) = Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von T und dem Intervall [1; 5] ist dann (2 – 1)·1,2 + (3 – 2)·2,7 + (4 – 3)·4,87 + (5 – 4)·7,5 = 1·1,2 + 1·2,7 + 1·4,8 + 1·7,5 = 16,2. Wir nennen diesen Flächeninhalt eine Obersumme von f. Der gesuchte Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [1; 5] muss kleiner oder gleich 16,2 sein. Den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen einer Treppenfunktion, die größer gleich f ist, und dem gegebenen Intervall nennt man auch eine Obersumme von f. kleiner gleich x y - 2 2 0 4 8 g f x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f ? Untersumme x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f { f(1) = 0,3 für 1 ª x ª 2 f(2) = 1,2 für 2 < x ª 3 f(3) = 2,7 für 3 < x ª 4 f(4) = 4,8 für 4 < x ª 5 Untersumme Obersumme x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f { f(2) = 1,2 für 1 ª x ª 2 f(3) = 2,7 für 2 < x ª 3 f(4) = 4,8 für 3 < x ª 4 f(5) = 7,5 für 4 < x ª 5 Obersumme 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv