Mathematik anwenden HAK 4, Schulbuch

105 Die Graphen der Erlösfunktion und der Kostenfunktion eines Monopolbetriebs könnten so aussehen: 358 Ein Betrieb arbeitet nach der Kostenfunktion K mit K(x) = 0,05x 3 – 4,5x 2 + 200x + 5000 und der Nachfragefunktion p N mit p N  (x) = ‒15x + 1 500. Berechne den Cournotschen Punkt. Für die Gewinnfunktion G ist G(x) = (‒15x + 1 500)·x – (0,05x 3 – 4,5x 2 + 200x + 5000) =   = ‒15x 2 + 1 500x – (0,05x 3 – 4,5x 2 + 200x + 5000) =   = ‒ 0,05x 3 – 10,5x 2 + 1 300x – 5000 und G’(x) = ‒ 0,15x 2 – 21x + 1 300. Wenn bei xME der maximale Gewinn erzielt wird, dann ist x eine positive Nullstelle von G’. G’ hat nur eine positive Nullstelle und zwar 46,48. Daher ist x = 46,48 und der zugehörige Verkaufspreis ist p N  (46,48) = 802,8GE/ME. Der Cournotsche Punkt ist (46,48ME 1 802,8GE/ME). 359 Von einem Monopolbetrieb kennt man die Kosten- und die Nachfragefunktionen K und p N mit K(x) = 0,03x 3 – 5,6x 2 + 390x + 4000 und p N  (x) = ‒ 9x + 1 260. a. Berechne die Produktionsmenge und den Verkaufspreis, die zum maximalen Erlös führen. Gib den maximalen Erlös an. b. Ermittle den Break-Even-Point und die Gewinngrenze. c. Gib den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn an. 360 Ein Monopolbetrieb arbeitet nach den Kosten- und Nachfragefunktionen K und p N mit K(x) = 0,0011x 3 – 0,185x 2 + 10,7x + 70 und p N  (x) = ‒ 0,09x + 14,9. a. Berechne den Gewinnbereich. b. Berechne den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn. 361 Ein Betrieb erzeugt Wohnwägen. Seine monatlichen Kosten in Euro bei der Produktion von x Wohnwägen werden durch die Funktion K mit K(x) = 0,4x 3 – 132x 2 + 23000x + 67000 beschrieben. Die Preisfunktion der Nachfrage ist p N mit p N (x) = ‒100x + 30000. a. Berechne, wie viele Wohnwägen der Betrieb monatlich mindestens erzeugen muss und wie viele er höchstens erzeugen darf, um Gewinn zu erzielen. b. Berechne, wie viele Wohnwägen der Betrieb monatlich produzieren muss, damit er den maximalen Gewinn erzielt, und gib den maximalen Gewinn an. Achte dabei darauf, dass der Betrieb nur eine ganze Anzahl von Wohnwägen produzieren kann. Gewinn Verl. Verlust GE ME Break-Even-Point Gewinngrenze E K A, B den Cournotschen Punkt berechnen  ggb/tns 3nm46t A, B , B , A, B , 3.2 Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv