Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

88 425 Frau Lindhof möchte mithilfe einer vorschüssigen Jahresrente mit Rate 1000€ insgesamt 20000€ ansparen. Berechne, wie lange sie sparen muss, wenn der Zinssatz a. 3% p.a., b. 4% p.a. beträgt. 426 Christoph möchte in 5 Jahren 10000€ ansparen. Ermittle die jährliche Rentenzahlung bei 4% p.a. a. bei vorschüssiger, b. bei nachschüssiger Jahresrente. 427 Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit sich durch eine jährliche vorschüssige Rente in der Höhe von 5000€ nach 8 Jahren ein Endbetrag von 45000€ ergibt? Berechne mithilfe einer geeigne- ten Technologie. 428 Adam zahlt 7 Jahre lang jeweils am Jahresbeginn 4500€ auf ein mit 2,25% p.a. verzinstes Spar- konto. Berechne, welchen Betrag Eva gleichzeitig mit Adams erster Rate einmalig auf ein Prämien- sparbuch mit einem Zinssatz von 2,75% p.a. zahlen muss, um am Ende des 7. Jahres auf den gleichen Endwert zu kommen wie Adam. 429 Bankzinsen unterliegen ständigen Veränderungen. In den 1980er Jahren konnte man für Spareinlagen noch mehr als 5% p.a. Zinsen erhalten und musste keine KEST zahlen. Im Jahr 2015 betrug der Zinssatz maxi- mal 1,125% p.a., wobei aber 25% KEST zu zahlen sind. Das hat Auswir- kungen auf den erzielten Gewinn beim Sparen. a. Berechne, welchen Endwert eine 10-jährige vorschüssige Jahresren- te mit einer Rate von 1 000€ in den 1980er Jahren erzielt hätte und welchen Endwert man 2015mit derselben Sparleistung erzielt. b. Ermittle, um wie viel Prozent der in Aufgabe a. berechnete Endwert im Jahr 2015geringer ist als der Endwert in den 1980er Jahren. 430 Der Barwert einer vorschüssigen Jahresrente mit n Raten lässt sich auch mithilfe der Rechnung B = R + R·q ‒1 + R·q ‒2 + … + R·q (n – 2) + R·q ermitteln. a. Stelle diesen Sachverhalt mithilfe einer Zeitlinie dar b. Zeige, dass sich diese Rechnung mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen zu B = R· v n – 1 _ v – 1 vereinfachen lässt, wenn v = q 431 Zeige analog zu Aufgabe 430, dass der Barwert einer nachschüssigen Jahresrente mit n Raten mit der Formel B = R·v· berechnet werden kann, wenn man v = q ‒ 1 setzt. 432 Die erste Rate einer Jahresrente von 2000€ mit einer Laufzeit von 5 Jahren ist in genau 3 Jahren fällig. Berechne den Barwert dieser Rente unter der Berücksichtigung der KEST, wenn der Zins- satz 2% p. beträgt und veranschauliche den Rechengang durch eine Zeitlinie. Wir beginnen mit der Zeitlinie: Um den Barwert B zu ermitteln, berechnen wir zunächst den Barwert B 1 einer vorschüssigen Jahresrente mit 5 Jahren Laufzeit und zinsen diesen anschließend noch 3 Jahre ab. Um die KEST zu berücksichtigen, rechnen wir 0,75·2% = 1,75% und erhalten q = 1,0175. B 1 = 2000·q· q 5 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 5 = 9661,89€ B = 9661,89 __ q 3 = 9171,89€ Wir hätten auch gleich B = 2000·q· q 5 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 5 + 3 = 9171,89€ rechnen können. Der Barwert beträgt 9171,89€. ggb/tns n767tq B , B , B , A, B , A, B , A, D ; B, D ; den Barwert einer in 3 Jahren beginnenden Rente berechnen A, B Jahre 4 5 6 7 3 2 1 0 €2.000 €2.000 €2.000 €2.000 €2.000 B 1 B Rentenrechnung und Schuldtilgung Nur zu Prüfzwecken ‒ – Eigentum v n – 1 _ v – 1 a. des ‒ 1 ist. Verlags ‒(n – 1) . öbv