Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

84 Nachschüssige und vorschüssige Jahresrenten Im Bankenalltag ist man oft mit regelmäßig wiederkehrenden Zahlungen konfrontiert. Wir den- ken dabei beispielsweise an die Prämien für eine Versicherung, Rückzahlung von Kreditraten oder an die Ausbezahlung des Gehalts oder einer Pension. Solche regelmäßig wiederkehrende Zahlungen lassen sich unter dem Begriff Rente zusammenfassen. Einen Zahlungsstrom, bei dem die Zahlungen in gleichen Zeitabständen und in gleicher Höhe erfolgen, nennt man eine Rente . Diese Zahlungen werden Raten der Rente genannt, die Zeitabstände nennt man Rentenperioden . Ist n die Anzahl der Rentenperioden, dann wird die Zeit von n Rentenperioden auch Laufzeit der Rente genannt. Wenn die Rentenperiode 1 Jahr beträgt, spricht man von einer Jahresrente. Erfolgen die Zahlungen jeweils am Ende der Rentenperiode, so heißt die Rente nachschüssig . Erfolgen die Zahlungen einer Rente jeweils am Anfang der Rentenperiode, so heißt die Rente vorschüssig . Der Endwert einer nachschüssigen Rente mit n Rentenperioden bei einem Aufzinsungsfaktor q ist der Endwert des zugehörigen Zahlungsstroms: E = R·q n – 1 + R·q n – 2 + … + R = R·(q n – 2 + … + q + q + 1) = R·s n = R· q n – 1 _ q – 1 Der Barwert ist B = E _ q n . Tipp Beachte: Der Endwert einer nachschüssigen Rente bezieht sich immer auf den Zeitpunkt der letzten Rate, der Barwert auf den Zeitpunkt „eine Rentenperiode vor der ersten Rate“. Besteht eine nachschüssige Rente aus n Raten R und wurde der Aufzinsungsfaktor q (pro Rentenperiode) vereinbart, dann ist ihr Endwert E = R· q und ihr Barwert B = E _ q n = R· q n – 1 _ q – 1 Der Endwert einer vorschüssigen Rente bei einem Aufzinsungsfaktor q ist der Endwert des zuge- hörigen Zahlungsstroms: E = R·q n + R·q n – 1 + … + R·q = R·q·(q n – 1 + q n – 2 + … + q 2 + q + 1) = R·q· q n – 1 _ q – 1 Den Barwert ist B = E _ q n . Tipp Beachte: Der Endwert einer vorschüssigen Rente bezieht sich immer auf den Zeitpunkt „eine Rentenperiode nach der letzten Rate“, der Barwert auf den Zeitpunkt der ersten Rate. Besteht eine vorschüssige Rente aus n Raten R und wurde der Aufzinsungsfaktor q (pro Renten- periode) vereinbart, dann ist ihr Endwert E = R·q· q n – 1 _ q – 1 und ihr Barwert B = E _ q n = R·q· q n – 1 _ q – 1 ·q ‒n . Rente Rate Rentenperiode Laufzeit Jahresrente nachschüssige Rente vorschüssige Rente 4 5 6 3 2 1 0 R R R R R R E B Endwert und Barwert einer nachschüssigen Rente Jahre 4 5 6 3 2 1 R R R R R R E B Endwert und Barwert einer vorschüssigen Rente Rentenrechnung und Schuldtilgung Nur zu n – 1 _ q – 1 Prüfzwecken n – 1 + q – Eigentum ·q ‒n . 0 des Verlags 2 Jahre öbv