Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

83 398 Berechne die Summe. a. 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + … + 3 10 b. 0,5 + 0,5 2 + 0,5 3 + … + 0,5 16 a. Die Summe hat 11 Summanden und die Form s n = 1 + q + q 2 + … + q n – 2 + q n – 1 mit q = 3 und n = 11. Daher ist s 11 = 3 11 – 1 _ 3 – 1 = 88573. b. Bei dieser Summe ist der erste Summand nicht 1, sondern 0,5. Wir heben 0,5 heraus und erhalten 0,5 + 0,5 2 + 0,5 3 + … + 0,5 16 = 0,5·(1 + 0,5 + 0,5 2 + … + 0,5 15 ) = 0,5· 0,5 16 – 1 __ 0,5 – 1 = 0,999969482. 399 Berechne. a. 1 + 1,05 + 1,05 2 + 1,05 3 + … + 1,05 9 = c. 1 + 0,99 + 0,99 2 + 0,99 3 + … + 0,99 20 = b. 1 + 1,03 + 1,03 2 + 1,03 3 + … + 1,03 15 = d. 1 + 0,95 + 0,95 2 + 0,95 3 + … + 0,95 7 = 400 Berechne. a. 1,04 + 1,04 2 + 1,04 3 + … + 1,04 10 = c. 0,98 + 0,98 2 + 0,98 3 + … + 0,98 25 = b. 1,025 + 1,025 2 + 1,025 3 + … + 1,025 12 = d. 0,975 + 0,975 2 + 0,975 3 + … + 0,975 8 = 401 Ordne der Summe die richtige Zahl zu. a. 4 3 + 4 2 + 4 + 1 A 4 3 – 1 _ 4 – 1 B 4 4 – 1 _ 4 – 1 b. 50·1,02 3 + 50·1,02 2 + 50·1,02 + 50 C 50· 1,02 4 – 1 __ 1,02 – 1 D 50·1,02 3 – 1 __ 50·1,02 – 1 402 Dein Gehalt beträgt im ersten Monat 1 000€. In jedem weiteren Monat erhöht sich das Gehalt um 15%. Ermittle, wie viel du im Laufe eines Jahres verdienst. 403 Sieben Jahre lang werden jeweils am Ende des Jahres 5000€ auf ein mit 1% p.a. verzinstes Spar- buch eingezahlt. Der Endwert ist E = 5000·1,01 6 + 5000·1,01 5 + 5000·1,01 4 + … + 5000·1,01 2 + 5000·1,01 + 5000. a. Zeige, durch welche Umformungen man E = 5000· 1,01 7 – 1 __ 1,01 – 1 erhält. Hinweis: Schau dir die Herleitung der Summenformel einer geometrischen Reihe auf Seite 82 noch einmal genau an. b. Berechne den Endwert. 404 Der Legende nach soll die Erfindung des Schachspiels einen König so begeistert haben, dass dieser dem Erfinder einen Wunsch gewährte. Der schlaue Mann bat den Herrscher, auf das erste Feld seines Schachbretts ein Reiskorn zu legen, auf das zweite Feld zwei, auf das dritte vier, auf das vierte acht und so weiter. Auf jedem neuen Feld sollten doppelt so viele Reis- körner zu liegen kommen wie auf dem vorangegangenen. Zunächst erschien der Wunsch dem Herrscher sehr bescheiden, doch bald schon stellte sich heraus, dass … a. Berechne, wie viele Reiskörner insgesamt benötigt werden, wenn man tatsächlich alle 64 Fel- der des Schachbretts auf die oben beschriebene Weise mit Reiskörnern belegen möchte. Schreibe die Zahl auch in Worten an. b. Wir nehmen an, dass ein durchschnittliches Reiskorn ein Volumen von 10mm 3 besitzt. Ermittle, wie viel Kubikmeter Reis dann der König zur Verfügung stellen hätte müssen. c. Bestimme, welche Seitenlänge ein Würfel hätte, der Platz für alle Reiskörner bietet. d. Wie könnte die oben begonnene Geschichte weitergehen? Erfinde ein passendes Ende. die Summenformel für die geometrische Reihe anwenden B B : B : C , A, B , B, D ; A, B, C ; 4.2 Grundlagen der Rentenrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags 2 öbv