Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

82 4.2 Grundlagen der Rentenrechnung Ich lerne die Summenformel für die geometrische Reihe anzuwenden. Ich lerne den Endwert und den Barwert einer Rente zu berechnen und zu interpretieren. Ich lerne die Rate einer Rente mit vorgegebenem End- oder Barwert zu berechnen. Ich lerne Kreditraten zu berechnen. Ich lerne bei gegebener Rate die Anzahl der Vollraten und die abschließende Teilrate zu berechnen. Die geometrische Reihe Hannah zahlt 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres 1 200€ auf ein mit 2% p.a. verzinstes Sparbuch. Welchen Betrag hat sie am Ende des 6. Jahres zur Verfügung? Um das herauszufinden, berechnet Hannah den Endwert des folgenden Zahlungsstroms nach 6 Jahren: Schreiben wir R (wie Rate) für die jährlich gleichbleibende Zahlung von 1 200€ und q für den Aufzinsungsfaktor 1,02, so erhalten wir für den Endwert E = R·q + R·q 4 + R·q 3 + R·q + R·q + R E = R·(q + q 4 + q 3 + q 2 + q + 1) E = 6244,84€. Welchen Endwert hätte Hannah erhalten, hätte sie ihre Zahlungen über 10, 20 oder allgemein n Jahre hindurch fortgesetzt? Wir überlegen uns: Für einen Zeitraum von n Jahren beträgt der Endwert E = R·(q + … + q 2 + q + 1). Mit einem Trick lässt sich die Summe + q n – 2 + … + q 2 + q + 1 schnell berechnen. Dazu multiplizieren wir diese Summe mit q: = q·(q n – 1 + q n – 2 + … + q 2 + q + 1) = q n + q n – 1 + … + q 3 + q 2 + q Dann subtrahieren wir s n von q·s n und erhalten: q·s n – s n = (q n + q n – 1 + q n – 2 + … + q 2 + q) – (q n – 1 + q n – 2 + … + q 2 + q + 1) = = q n + q n – 1 + q n – 2 + … + q 2 + q – q n – 1 – q n – 2 – … – q 2 – q – 1 = q n – 1. Wir heben auf der linken Seite s n heraus: s n ·(q – 1) = q n – 1 Für q ≠ 1 können wir durch q – 1 dividieren und erhalten s n = q n – 1 _ q – 1 . Für jede reelle Zahl q und jede natürliche Zahl n heißt die Summe s n = 1 + q + q 2 + … + q n – 2 + q n – 1 das n-te Glied der durch q gegebenen geometrischen Reihe . Falls q ≠ 1 ist, ist s n = q n – 1 _ q – 1 . Falls q = 1 ist, ist s n = n . Jahre 4 5 6 2 1 0 €1.200 €1.200 €1.200 €1.200 €1.200 €1.200 E geometrische Reihe Rentenrechnung und Schuldtilgung Nur zu 5 5 Prüfzwecken 3 – Eigentum n – 1 + q n – 2 s n = q n – 1 q·s n des 2 Verlags öbv