Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

54 280 Ein Organismus wird von 1 400 Viren befallen, die sich jede Stunde um 25% vermehren. a. Beschreibe die Funktion, die jeder Zahl t die Anzahl der Viren im Organismus t Stunden nach dem Befall zuordnet. b. Ermittle, wie viele Viren sich 10 Stunden nach dem Befall im Organismus befinden. c. Der Organismus erkrankt, wenn die Virenzahl 800000 überschritten hat. Berechne, wie viele Stunden nach dem Befall der Organismus erkrankt. 281 Bei günstigen Bedingungen verdoppeln gewisse Bakterien ihre Anzahl alle 10 Minuten. a. Berechne, wie lange es dauert, bis diese Bakterienkultur auf 350% der ursprünglichen Zahl anwächst. b. Ermittle, wie lange es braucht, bis aus 100 Bakterien 1 000000 entstehen. 282 Die Staatsverschuldung der Republik Österreich hat sich vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2014 verdoppelt. Im Jahr 2000 betrug die Staatsverschuldung 140 Milliarden Euro. a. Ermittle die exponentielle Wachstumsfunktion N, die der Zeit t in Jahren nach dem Jahr 2000 die Staatsverschuldung N(t) Österreichs in Milliarden Euro zuordnet. b. Berechne mithilfe der Funktion aus Aufgabe a. die Staatsverschuldung in den Jahren 2007 und 2030. c. Beurteile die Zuverlässigkeit der Ergebnisse, die du in Aufgabe b. erhalten hast. a. Es ist N(0) = 140. Nach 14 Jahren haben sich die Schulden verdoppelt, daher ist N(14) = 140·2 = 280. Da N eine exponentielle Wachstumsfunktion ist, ist N(t) = 140·q t . Wir erhalten: 140·q 14 = 280 | : 140 q 14 = 2 | 14 9 _ q = 14 9 _ 2 ≈ 1,05076 Daher ist die gesuchte Wachstumsfunktion N mit N(t) ≈ 140·1,05076 t . Wir hätten allerdings 14 9 _ 2 nicht berechnen müssen, um die Wachstumsfunktion zu ermitteln. Da 14 9 _ 2 = 2 1 _ 14 ist, können wir die Wachstumsfunktion N auch durch N(t) = 140·2 t _ 14 angeben. b. N(7) = 140·2 7 _ 14 = 197,99 N(30) = 140·2 30 _ 14 = 618,29 Im Jahr 2007 betrug die Staatsverschuldung ca. 198 Milliarden Euro, 2030 wird sie ca. 618 Milliarden Euro betragen. c. Auf der Homepage der Statistik Austria erfährt man, dass die tatsächliche Staatsverschuldung 2007 ungefähr 183 Milliarden Euro betrug, also um 15 Milliarden Euro geringer ausfiel, als wir berechnet haben. Alleine aus der Tatsache, dass sich der Schuldenstand vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2014 verdoppelt hat, kann man noch nicht darauf schließen, dass die Staats- verschuldung exponentiell wächst. Da die Staatsverschuldung zumindest zum Teil von der Finanzpolitik eines Landes beeinflusst wird, ist zu hoffen, dass die Staatsverschuldung im Jahr 2030 geringer ausfällt, als wir es berechnet haben. 283 Die Staatsverschuldung in Estland hat sich vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2006 verdoppelt. Im Jahr 2000 betrug die Staats- verschuldung 0,3 Milliarden Euro. a. Finde eine exponentielle Wachstumsfunktion N, die der Zeit t in Jahren nach dem Jahr 2000 die Staatsverschuldung N(t) in Milliarden Euro zuordnet. b. Ermittle mithilfe dieser Funktion N, wie hoch die Staats- verschuldung im Jahr 2003 in Estland war. c. Die Staatsverschuldung in Estland betrug im Jahr 2014 2,07 Milliarden Euro. Berechne mithilfe der Funktion N die Staatsverschuldung im Jahr 2014 und vergleiche das Ergebnis mit der tat- sächlichen Staatsverschuldung. A, B , A, B , einen Vorgang mit exponentiellem Wachstum modellieren und untersuchen A, B, D A, B, C , Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv