Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

53 275 In einer Großstadt leben derzeit 3,12 Millionen Einwohnerinnen und Einwohner. Die Bevölke- rungszahl wächst jährlich um 2%. a. Gib die Wachstumsfunktion N an, die jedem Zeitpunkt t in Jahren die Bevölkerungszahl in Millionen zuordnet. b. Berechne, wann es in dieser Stadt 3,5 Millionen Einwohnerinnen und Einwohner geben wird. a. Wir bezeichnen den jetzigen Zeitpunkt mit t = 0, dann ist N(0) = 3,12. Wir suchen eine Zahl q so, dass für alle Zahlen t gilt: N(t) = N(0)·q t . Da die Bevölkerungszahl jährlich um 2% wächst, ist N(1) = N(0)·1,02, also q = 1,02. Somit ist die gesuchte Wachstumsfunktion N mit N(t) = 3,12·1,02 t . b. Wir suchen eine Zahl t so, dass N(t) = 3,5 ist. Dazu lösen wir die Gleichung 3,12·1,02 t = 3,5 | : 3,12 1,02 t = 3,5 _ 3,12 | ln t·ln(1,02) = ln 2 3,5 _ 3,12 3 t = ln 2 3,5 _ 3,12 3 _ ln(1,02) t ≈ 5,80. In ca. 5,8 Jahren werden in dieser Stadt 3,5 Millionen Einwohnerinnen und Einwohner leben. 276 Nimm an, dass die Bevölkerung eines Staates mit derzeit 12 Millionen Einwohnerinnen und Einwohnern pro Jahr um 2,5% zunimmt. a. Ermittle die Funktion, die jedem Zeitpunkt t in Jahren die Bevölkerungszahl dieses Staates zu diesem Zeitpunkt zuordnet. b. Ermittle, wie viele Einwohnerinnen und Einwohner dieser Staat nach 5 Jahren, nach 7,5 Jahren bzw. nach 20 Jahren hat. c. Berechne, wie viele Menschen vor 2 Jahren in diesem Staat lebten. d. Wie viele Menschen leben in 1 000 Jahren in diesem Staat? Argumentiere, ob die Annahme „die jährliche Zuwachsrate ist 2,5%“ sinnvoll ist. 277 Auf einem Kapitalsparbuch liegen derzeit 18000€. Das Kapital wächst jährlich um 0,75% . a. Gib eine Wachstumsfunktion an, die jedem Zeitpunkt t in Jahren das Kapital in Euro zuordnet. b. Berechne, wie hoch das Kapital auf dem Sparbuch nach 5 Jahren sein wird. c. Ermittle, wann erstmalig mehr als 20000€ auf dem Sparbuch sein werden. d. Argumentiere, ob die Annahme, dass die Verzinsung jährlich gleich ist, sinnvoll ist. 278 Milchbakterien vermehren sich um 50% pro Stunde. In einer Probe sind 10000 Bakterien. a. Ermittle eine Funktion, die jedem Zeitpunkt t in Stunden die Anzahl der Milchbakterien zu diesem Zeitpunkt zuordnet. b. Gib an, wie viele Bakterien es in 5 Stunden bzw. in 8 Stunden sein werden. c. Ermittle, wie viele Bakterien es vor 3 Stunden waren. d. Berechne, wann es 500000 Bakterien sein werden. 279 Gewisse Bakterien vermehren sich pro Stunde um 75%. Derzeit sind es 10000 Bakterien. a. Bestimme eine Funktion, die jedem Zeitpunkt t in Stunden die Anzahl der Bakterien zu diesem Zeitpunkt zuordnet. b. Gib an, wie viele Bakterien es in 2 bzw. in 4 Stunden sein werden. c. Ermittle, wie viele Bakterien es vor einer halben Stunde waren. einen Vorgang mit exponentiellem Wachstum modellieren A, B A, B, D , A, B, D , A, B , A, B , 3.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv