Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

52 Exponentielles Wachstum Hefepilze, die zum Beispiel zur Herstellung von verschiedenn Backwaren eingesetzt werden, verdoppeln ihre Masse unter günstigen Bedingungen alle 90 Minuten. Wir wollen diesen Zusammenhang durch eine Funktion N beschreiben, die jedem Zeitpunkt t (in min) die Masse der Hefe- pilze N(t) (in g) zuordnet. Dazu bezeichnen wir die Masse zur Zeit t = 0 mit M 0 und erstellen eine Wertetabelle. Zeit t in Minuten Masse N(t) in Gramm 0 M 0 90 M 0 ·2 2·90 = 180 M 0 ·2 2 3·90 = 270 M 0 ·2 3 4·90 = 360 M 0 ·2 4 Es liegt nahe anzunehmen, dass die gesuchte Funktion N mit N(t) = M 0 ·2 t _ 90 ist. Sie ist das M 0 -Fache der Exponentialfunktion zur Basis 2 1 _ 90 . Wir sagen daher, dass die Masse der Hefepilze exponentiell wächst. Die Funktion N ist streng monoton wachsend und für M 0 = 42g sieht ihr Graph so aus: Für einen Vorgang im Alltag, in der Technik, Natur oder Wirtschaft exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme anzunehmen bedeutet, diesen Vorgang mit einer Exponentialfunktion oder einem positiven Vielfachen davon zu beschreiben. Beschreibt man einen Wachstumsvorgang durch eine Funktion N, dann spricht man von expo- nentiellem Wachstum , wenn N ein positives Vielfaches einer Exponentialfunktion und streng monoton wachsend ist. Ist N das c-Fache der Exponentialfunktion zur Basis q > 0, dann ist N(t) = c·q t = c·e ln(q)·t . Dabei ist c = N(0) = c·q 0 . Die Funktion N ist streng monoton wachsend, wenn q > 1 ist. Oft nennt man N(t) den Bestand zum Zeitpunkt t und schreibt N 0 für den Bestand zum Zeitpunkt 0. Dann ist N(t) = N 0 ·q t = N 0 · e λ ·t , wobei λ = ln(q) ist. Die Zeit t, nach der sich der Bestand zum Zeitpunkt 0 verdoppelt hat, nennt man Verdopplungs- zeit des Wachstumsvorgangs. Tipp Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine Größe in gleichen Zeitabständen um denselben Prozentsatz zunimmt, zum Beispiel, wenn sie sich in gleichbleibenden Zeitabständen verdoppelt. Achtung In der Realität lässt sich exponentielles Wachstum meist nur für relativ kurze Zeiträume beobachten. t in min N(t) in g 0 60 120 180 240 300 360 50 200 250 300 350 0 100 150 N exponentielles Wachstum Verdopplungs- zeit Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv