Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

50 3.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Ich lerne die Modelle für lineares, exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum kennen und damit Sachverhalte aus Wirtschaft und Naturwissenschaft zu modellieren. Lineares Wachstum und lineare Abnahme Im Jahr 1913 brachte der amerikanische Hersteller Ford das erste am Fließband gefertigte Automobil heraus. In den 1920er- Jahren erreichte die Tagesproduktion bereits 9000 Stück. Die Anzahl der Autos, die in dieser Fabrik innerhalb von t Tagen produziert wurde, ist also 9000·t. Das Wachstum der Anzahl der produzierten Autos kann durch die lineare Funktion N mit N(t) = 9000·t beschrieben werden. Die Funktion ist streng monoton steigend. Beschreibt man einen Wachstumsvorgang durch eine Funktion N, dann spricht man von linearem Wachstum , wenn die Funktion N linear und ihre Änderungsrate positiv ist. Ist die Funktion N linear und ihre Änderungsrate negativ, spricht man von linearer Abnahme . Ist k die Änderungsrate von N und N 0 = N(0), dann nennt man N(t) = N 0 + k · t oft den Bestand zum Zeitpunkt t und schreibt N 0 = N(0) für den Bestand zum Zeitpunkt 0 . 267 Eine Getränkeabfüllanlage befüllt Flaschen mit Limonade. Die Gesamtzahl an befüllten Flaschen wird dabei auf einem Display angezeigt. Um Punkt 12:00 Uhr (t = 0) zeigt das Display 15690 Fla- schen an. 7 Minuten später (t = 7) steht die Anzeige auf 16670 Flaschen. a. Ermittle die lineare Funktion N, die dem Zeitpunkt t in Minuten nach 12:00Uhr die Anzahl der insgesamt befüllten Flaschen zuordnet. b. Berechne, wann die 25000. Flasche befüllt wird. a. Wir suchen Zahlen N 0 und k so, dass für alle t N(t) = N 0 + k·t ist. Da N(0) = 15690 ist, muss N 0 = 15690 sein. Aus N(7) = 16670 erhalten wir 15690 + k·7 = 16670 k = 140 Daher ist N(t) = 15690 + 140t. b. Wir suchen t mit N(t) = 25000. 15690 + 140t = 25000 t = 66,5 Die 25000. Flasche wird 66,5 Minuten nach 12:00Uhr befüllt, also um 13:06:30Uhr. t in Tagen N(t) in Stück 0 2 4 6 8 10 11 1 3 5 7 9 20000 80000 100000 0 40000 60000 N lineares Wachstum lineare Abnahme einen Vorgang mit linearem Wachstum modellieren A, B Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv