Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

47 3.2 Logarithmusfunktionen Ich lerne Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen kennen. Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen Im Abschnitt 3.1 hat eine Biologin das Wachstum einer Bakterienkultur durch die Funktion f mit f(t) = 2 t beschrieben: Nach t Stunden bedecken die Bakterien eine Fläche von 2 t mm 2 . Wir können nun umgekehrt fragen: Nach welcher Zeit bede- cken die Bakterien eine Fläche von 10000mm 2 ? Nennen wir die gesuchte Zeit (in Stunden) t, dann muss 2 t = 10000 sein. Vom Rechnen mit Logarithmen wissen wir, dass t = log 2 (10000) ≈ 13,29 ist. Nach ca. 13,29 Stunden bedecken die Bakterien also eine Fläche von 10000mm 2 . Die Funktion g mit g(x) = log 2 (x) nennen wir die Logarithmusfunktion zur Basis 2 . Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis 2. Für jede positive reelle Zahl a ≠ 1 hat die Exponentialfunktion exp a : R ¥ R + , x ¦ a x , eine Umkehrfunktion. Wir nennen sie den Logarithmus oder die Logarithmusfunktion zur Basis a und bezeichnen sie mit log a : R + ¥ R , x ¦ log a (x) . Statt log e schreiben wir ln ( natürlicher Logarithmus ). Statt log 10 schreiben wir lg ( Logarithmus zur Basis 10 ). Als Umkehrfunktion einer streng monoton wachsenden bzw. streng monoton fallenden Funktion ist log a : R + ¥ R , x ¦ log a (x) streng monoton wachsend, wenn a > 1 ist und streng mono- ton fallend, wenn 0 < a < 1 ist. Wenn eine reelle Zahl z im Intervall [s; t] liegt, dann liegt log a (z) zwischen log a (s) und log a (t). Beispiel: Weil 3,1415 < π < 3,1416 und lg = log 10 streng monoton wachsend ist, folgt dass lg(3,1415) < lg( π ) < lg(3,1416) ist. Wir können den Graphen der Logarithmusfunktion zur Basis a zeichnen, indem wir den Graphen der Exponentialfunktion zur Basis a an der 1. Mediane spiegeln. ggb xa9sk9 Logarithmus- funktion zur Basis a ln lg Monotonie Näherung von log a (z) y x 0 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 1 2 4 3 -1 exp ln y x 0 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 1 2 4 3 -1 exp 10 log 2 lg exp 2 y x 0 - 2 -1 1 2 3 4 - 2 1 2 4 3 -1 exp 0,6 log 0,6 3.2 Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv