Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

43 226 Die Funktion f ist eine Exponentialfunktion, bei der für alle Zahlen t der Funktionswert f(t + 1) um 5% größer ist als f(t). Berechne die Basis a dieser Exponentialfunktion. Wenn f(t) = a t ist, dann ist f(t + 1) = a t + 1 = a t ·a = f(t)·a. Weil f(t + 1) um 5% größer ist als f(t), muss f(t + 1) = f(t)·1,05 gelten. Also ist die Basis dieser Exponentialfunktion a = 1,05. 227 Die Zahl a t + 1 ist um a. 10%, b. 17%, c. 0,2%, d. 1 _ 2 % größer als a t . Berechne a. 228 Die Zahl b t + 1 ist um a. 3%, b. 15%, c. 0,8%, d. 1 _ 2 % kleiner als b t . Berechne b. Exponentialfunktionen in der Schreibweise f mit f(x) = a b·x Für alle reellen Zahlen b ist auch die Funktion f: R ¥ R , f(x) = a b·x eine Exponentialfunktion zur Basis d = a b . Beispiele: ƒ Die Funktion f: R ¥ R , f(x) = 2 3x ist die Exponentialfunktion zur Basis 2 3 = 8. ƒ Die Funktion f: R ¥ R , f(x) = 2 3x – 2 ist wegen 2 3x – 2 = 2 3x ·2 ‒2 = 8 x · 1 _ 4 das 1 _ 4 -Fache der Exponentialfunktion zur Basis 8. Für die Basis e (Eulersche Zahl) wird die Exponentialfunktion exp e oft nur mit exp bezeichnet. Es ist dann exp(x) = exp e (x) = e x . Ist a eine positive Zahl, dann ist a = e ln(a) , also a x = (e ln(a) ) x = e ln(a)·x . Jede Exponentialfunktion kann daher in der Form f mit f(x) = e k·x geschrieben werden. Für k < 0 ist f streng monoton fallend, für k > 0 streng monoton wachsend. Im nächsten Jahr werden wir sehen, dass es oft von Vorteil ist, Exponentialfunktionen f zu irgendeiner Basis a in der Form f(x) = e ln(a)·x anzuschreiben. f(x) = e ‒x f(x) = e x GeoGebra Eingabezeile: als Sonderzeichen über CAS-Fenster: exp( <x> ) oder Alt e Excel = EXP( Zahl ) ¥ TI Nspire exp( Zahl ) oder u eine Exponential- funktion mit gegebenem prozentuellen Wachstum bestimmen B B , B , Exponential- funktion Exponential- funktion zur Basis e x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 f ggb t9yc2g x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 f die Exponen- tialfunktion zur Basis e (Eulersche Zahl) eingeben ggb/xls/tns i675yk 3.1 Exponentialfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv